Subgroup series

정의

[math]\displaystyle{ G }[/math] 가 group 이라고 하자. 그러면 다음을 만족하는 group의 수열 [math]\displaystyle{ \{G_i\} }[/math] 을 G의 subgroup series 라고 한다.

\begin{equation} G_0 = G \geq G_1 \geq G_2 \geq \dotsc \geq G_m \end{equation}

이때 [math]\displaystyle{ 0 \leq i \leq m-1 }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ G_{i+1} }[/math] 이 [math]\displaystyle{ G_i }[/math] 의 normal subgroup 이면 [math]\displaystyle{ \{G_i\} }[/math] 를 subnormal series 라고 한다. subnormal series 중 [math]\displaystyle{ 0 \leq i \leq m-1 }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ G_i/G_{i+1} }[/math] 이 abelian이면 이러한 series가 abelian 이라고 하고, cyclic 이면 이러한 series가 cyclic 이라고 한다.

만일 group [math]\displaystyle{ G }[/math] 에 대해 다음과 같은

\begin{equation} G_0 = G \triangleright G_1 \triangleright G_2 \triangleright \dotsc \triangleright G_m=\{e\} \end{equation}

abelian subnormal series 가 존재하면 그러한 group [math]\displaystyle{ G }[/math] 를 solvable 이라고 한다.

Group [math]\displaystyle{ G }[/math] 의 두 subnormal series [math]\displaystyle{ \{G_i\}, \{H_i\} }[/math] 가 상등이라는 것은

[math]\displaystyle{ \begin{align} G = G_0 \triangleright G_1 \dotsc \triangleright G_m = \{e\} \\ G = H_0 \triangleright H_1 \dotsc \triangleright H_s = \{e\} \end{align} }[/math]

에서 [math]\displaystyle{ m=s }[/math] 이고 [math]\displaystyle{ \sigma \in S_{m-1} }[/math] 이 존재하여 [math]\displaystyle{ 1 \leq i \leq m-1 }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ G_i/G_{i+1} \cong H_{\sigma(i)}/H_{\sigma(i)+1} }[/math] 을 만족하는 것이다.

Group [math]\displaystyle{ G }[/math] 의 subgroup series 의 refinements는 [math]\displaystyle{ \{G_i\} }[/math] 에 유한개의 항을 추가하여 얻어지는 subgroup series 를 말한다.

성질

• [math]\displaystyle{ G, G' }[/math] 이 group 이라하고 [math]\displaystyle{ f: G \rightarrow G' }[/math] 이 group homomorphism 이라고 하자. 그리고 [math]\displaystyle{ \{G'_i\} }[/math] 가 group [math]\displaystyle{ G' }[/math] 의 subnormal series 라고 하자. 이제 [math]\displaystyle{ G_i = f^{-1}\left (G'_i \right) }[/math] 라 하면 [math]\displaystyle{ G_0 = G }[/math] 이며 [math]\displaystyle{ \{G_i\} }[/math] 는 [math]\displaystyle{ G }[/math] 의 subnormal series가 된다.

만일 subnormal series [math]\displaystyle{ \{G'_i\} }[/math] 가 abelian이면 [math]\displaystyle{ \{G_i\} }[/math] 또한 abelian 이고 [math]\displaystyle{ \{G'_i\} }[/math] 가 cyclic이라면 [math]\displaystyle{ \{G_i \} }[/math] 또한 cyclic이다.

참고서적

• Serge Lang (2002). 《Algebra》. Springer. ISBN 978-0387953854