정의
[math]\displaystyle{ G }[/math] 가 group 이라고 하자. 그러면 다음을 만족하는 group의 수열 [math]\displaystyle{ \{G_i\} }[/math] 을 G의 subgroup series 라고 한다.
\begin{equation} G_0 = G \geq G_1 \geq G_2 \geq \dotsc \geq G_m \end{equation}
이때 [math]\displaystyle{ 0 \leq i \leq m-1 }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ G_{i+1} }[/math] 이 [math]\displaystyle{ G_i }[/math] 의 normal subgroup 이면 [math]\displaystyle{ \{G_i\} }[/math] 를 subnormal series 라고 한다. subnormal series 중 [math]\displaystyle{ 0 \leq i \leq m-1 }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ G_i/G_{i+1} }[/math] 이 abelian이면 이러한 series가 abelian 이라고 하고, cyclic 이면 이러한 series가 cyclic 이라고 한다.
만일 group [math]\displaystyle{ G }[/math] 에 대해 다음과 같은
\begin{equation} G_0 = G \triangleleft G_1 \triangleleft G_2 \triangleleft \dotsc \triangleleft G_m=\{e\} \end{equation}
abelian subnormal series 가 존재하면 그러한 group [math]\displaystyle{ G }[/math] 를 solvable 이라고 한다.
성질
1. [math]\displaystyle{ G, G' }[/math] 이 group 이라하고 [math]\displaystyle{ f: G \rightarrow G' }[/math] 이 group homomorphism 이라고 하자. 그리고 [math]\displaystyle{ \{G'_i\} }[/math] 가 group [math]\displaystyle{ G' }[/math] 의 subnormal series 라고 하자. 이제 [math]\displaystyle{ G_i = f^{-1}\left (G'_i \right) }[/math] 라 하면 [math]\displaystyle{ G_0 = G }[/math] 이며 [math]\displaystyle{ \{G_i\} }[/math] 는 [math]\displaystyle{ G }[/math] 의 subnormal series가 된다. 만일 subnormal series [math]\displaystyle{ \{G'_i\} }[/math] 가 abelian이면 [math]\displaystyle{ \{G_i\} }[/math] 또한 abelian 이고 [math]\displaystyle{ \{G'_i\} }[/math] 가 cyclic이라면 [math]\displaystyle{ \{G'_i \} }[/math] 또한 cyclic이다.
참고서적
- Serge Lang (2002). 《Algebra》. Springer. ISBN 978-0387953854