P-adic Number

소개

보통 실수는 0.12341289473248...같이 소숫점 아래로 이어지지 ...4859285 이렇게 왼쪽으로 나아가지 않는다. 그렇다면 이렇게 왼쪽으로 나아가는 수가 있을까?? p가 소수고 p진법으로 표현할 수 있으면 가능하다!! p가 소수여야 하는 이유는 소수가 아니라면 0이 아닌 어떤 숫자가 역원이 존재하지 않을 수도 있어서.

처음보면 생소할 수 있는 이 수체계는 정수론에서 아주 다방면으로 활용되는 쓸모있는 수체계이다.

간단 definition

우리는 실수를 정의할 때 유리수에서 점을 하나씩 채운다. 그리고 그 채우는 방법은 Cauchy sequence를 이용하거나, least upper bound property를 이용하던가. least upper property는 ordered field에서만 얘기할 수 있으므로 Cauchy sequence를 이용하자.

[math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]에 norm이란 것을 준다. norm은 k가 field일 때

• [math]\displaystyle{ \|\cdot\|:k \to \mathbb{R}^{+}\cup \{0\}=\{x:x\ge 0\} }[/math]인 함수
• 모든 [math]\displaystyle{ x,y\in k }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ |xy|=|x||y| }[/math]
• 모든 [math]\displaystyle{ x,y,z\in k }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ |x+y|\le |x|+|y| }[/math]

를 만족하는 것을 뜻한다. 그리고 k 안의 sequence [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math]가 Cauchy sequence라는 것을

• 모든 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해서 적당한 N이 있어서 [math]\displaystyle{ \|x_m-x_n\|\lt \varepsilon }[/math] for all [math]\displaystyle{ m,n\ge N }[/math]

을 만족하는 sequence를 말한다고 하자. 그리고 두 Cauchy sequence [math]\displaystyle{ \{x_n\},\{y_n\} }[/math]이 서로 equivalent하다는 것을

• 모든 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해서 적당한 N이 있어서 [math]\displaystyle{ \|x_n-y_n\|\lt \varepsilon }[/math] for all [math]\displaystyle{ n\ge N }[/math]

이라는 것이다. 이는 좀 더 강력해 보이는 조건

• 모든 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해서 적당한 N이 있어서 [math]\displaystyle{ \|x_m-y_n\|\lt \varepsilon }[/math] for all [math]\displaystyle{ m,n\ge N }[/math]

하고 동치인데, converse는 자명하고 나머지는

[math]\displaystyle{ |x_m-x_n|\lt \frac{\varepsilon}{2},|x_n-y_n|\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math]

이 되도록 하는 자연수들을 각각 [math]\displaystyle{ N_1,N_2 }[/math]라고 하고 [math]\displaystyle{ \max\{N_1,N_2\} }[/math]를 생각하자.

우리는 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]로 돌아오자. 어떤 숫자가 p진법으로 표현했을 때 자릿수가 어떻게 되는지 표현할 수 있을까?? 대충

[math]\displaystyle{ x=a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}+\cdots+a_ip^i }[/math]

이라고 어떤 자연수를 p진법으로 표현했다고 하자. 그렇다면

[math]\displaystyle{ |x|_p=p^{-i} }[/math]

라고 정의하자. 이는 어디에서 자릿수가 끝나는지 알려주는 표식 역할을 한다. 그리고 더 일반적으로 [math]\displaystyle{ x=p^i\frac{a}{b} }[/math]꼴이고 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]모두 p하고 서로소라고 하자. 그렇다면

[math]\displaystyle{ |x|_p=p^{-i} }[/math]

라고 정의하자. 그렇다면 이는 norm의 조건을 모두 만족한다. 그리고 더 강력한

[math]\displaystyle{ |x+y|_p\le \max\{|x|_p,|y|_p\} }[/math]

도 만족한다. 그리고 우리는 실수를 정의하듯이 이렇게 정의하자.

[math]\displaystyle{ \mathbb{Q}_p=\{\{x_n\}|x_n \text{ is Cauchy sequence on }\mathbb{Q}\text{ with respect to norm }\|\cdot\|_p\}/\sim }[/math]

라고 하자. 여기에서 ~는 위에서 정의한 Cauchy sequence의 equivalent다. 그렇다면 이것은 잘 정의된 field가 된다. 이것의 원소를 p-adic number라고 하자. 그리고

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p=\{x\in \mathbb{Q}_p||x|_p\le 1\} }[/math]

이라고 정의하자. 이것의 원소를 p-adic integer라고 하자.

다른 definition

이렇게 정의할 수도 있다. n이 자연수라면

[math]\displaystyle{ \Bbb{Z}/p^{n+1}\Bbb{Z}\longrightarrow \Bbb{Z}/p^n\Bbb{Z} }[/math]

를

[math]\displaystyle{ x+p^{n+1}\Bbb{Z}\longmapsto x+p^n\Bbb{Z} }[/math]

로 정의하자. 이는 natural projection인데, 이는 자연스럽게 surjective homomorphism이 되고,

[math]\displaystyle{ \Bbb{Z}_p=\varprojlim \Bbb{Z}/p^n\Bbb{Z} }[/math]

라고 정의하자. 이것은 integral domain이 된다. 그리고 [math]\displaystyle{ \Bbb{Q}_p }[/math]는 이것의 field of quotient라고 정의하자. 이것은 대수학에서 더욱 많이 쓰는 정의다.

정수론에서 쓰임

정수론에서 볼 때 p-adic number는 소수 p에 대한 정보를 요란한 방법으로 알려주는 숫자다. 이것을 쓰는 결정적 이유는 이것에 topology를 줄 수 있기 때문이다!! Hensel's lemma는 이것에 대해서 아는 것은 mod p로 어떤 정수를 나눴을 때 나머지를 아는 것과 같음을 알려주고, p-adic numbers 위엔 topology. 특히 적분을 정의할 수 있다. 게다가 여기에서 정의되는 적분은 보통 실수에서 정의되는 적분보다 계산도 쉽다. 이는 topology가 특이해서 그런데, topology가 실수 위의 topology보다 단순하다. 그리고 중국인의 나머지 정리로 대표되는 초등정수론에서 local property와 global property의 연결은 p-adic numbers에선 adéle이라는 것으로 만들어진다. 보통 쓰던 도구가 가지고 있는 것을 그대로 쓸 수 있고, topology라는 도구가 하나 더 추가되었으니 안 쓸 수가 없다.

또 하나의 이유는 뒤에 있는데, field extension 때문이다.

field extension

p-adic number의 field extension은 적어도 [math]\displaystyle{ \Bbb{Q} }[/math]의 field extension보다는 훨씬 단순하지만 [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]보단 복잡하다. [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]의 field extension은 정말로 단순해서 algebraic closure가 degree 2 extension인 [math]\displaystyle{ \Bbb{C} }[/math]이고, 이것은 complete이기까지 하지만, 똑같은 completion인 [math]\displaystyle{ \Bbb{Q}_p }[/math]는 infinite algebraic extension이 있고, 그 algebraic closure는 complete가 아니다. 그리고 그걸 또 completion하면 다행히 algebraically closed field라는 성질은 유지되는데, locally compact가 아니라서 적분을 정의 못 한다는... 또 하나의 시련에 시달린다. 이 field를 [math]\displaystyle{ \Bbb{C}_p }[/math]라고 자주 쓰는데, 신기한 성질은 이것은 [math]\displaystyle{ \Bbb{C} }[/math]하고 field isomorphic하다는 것이다. 그러니까 다르게 completion했고 다른 길을 걸었지만 사실 복소수들의 집합과 [math]\displaystyle{ \Bbb{C}_p }[/math]는 완전히 같은 집합에 완전히 같은 field structure를 주고서 topology만 다르게 준 것이다. 그러니까 [math]\displaystyle{ \Bbb{C}_p }[/math]는 topology만 빼면 그냥 복소수 집합이다.

사실 field extension이 이렇게 복잡한 것은 다행이라고 할 수 있는데, 이것은 [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]의 field extension뿐만 아니라 finite field의 field extension보다도 복잡하다. 그 적당히 복잡하다는 성질로 [math]\displaystyle{ \Bbb{Q} }[/math]의 field extension의 성질을 더욱 더 많이 뽑을 수 있어서. [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]처럼 단순했다면 수학자들 입장에선 너무 쉬울지 몰라도 그걸로 [math]\displaystyle{ \Bbb{Q} }[/math]에 대한 정보도 알아낼 수 없었을 것이다.

사실 [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]의 field extension이 이렇게나 단순한 이유는 ordered field라는 성질 때문인데, [math]\displaystyle{ \Bbb{Q}_p }[/math]의 field extension이 복잡한 건 당연한 걸지도 모르겠다. Ramification theory를 보면 [math]\displaystyle{ \Bbb{Q}_p }[/math]의 field extension은 당연히 복잡해야 한다. 안 그러면 [math]\displaystyle{ \Bbb{Q} }[/math]의 field extension부터 엄청 단순했을 것이다.

Ostrowski theorem

Norm으로 만드는 [math]\displaystyle{ \Bbb{Q} }[/math]의 completion은 딱 두 가지라는 얘기다. [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]하고 [math]\displaystyle{ \Bbb{Q}_p }[/math]. 증명 추가바람

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