로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!{{소문자 제목}} 상수 <math>e</math>는 [[자연로그]]의 밑이다. [[수학]]에서 [[원주율]]과 함께 자주 쓰이는 [[상수]] 중 하나이다. 한국에서는 흔히 자연상수라고 부르지만 정식 용어는 아니다. 우리말샘이나 대한수학회에서는 '자연로그의 밑'(base of the natural logarithm)이라고 하고있다. 영어로는 Euler's number<ref>오일러-마스케로니 상수와 같은 오일러의 이름이 붙은 다른 수들과 혼동될 수 있다는 단점이 있다.</ref>나 Napier's constant라 부른다. Euler는 당연히 [[레온하르트 오일러]]를 말하고, 네이피어(Napier)는 [[로그 (수학)|로그]]를 발명한 존 네이피어의 이름이다. 사실 수학에서 e라고 하면 이거 외에는 다른 의미를 (거의) 가지지 않으므로 그냥 e하면 다 알아듣는다. 2와 e의 발음이 같은 한국에선 예외. 값은 약 2.71828이며, [[고등학교]]에서 [[미적분]]을 배울 때 같이 배울 것이다. == 정의 == 고교과정에서는 하나의 정의만 배우지만, 사실 정의는 하기 나름이라 굉장히 많은 정의가 존재한다. 아래는 그 일부. #<math>\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{x\to0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}</math> #*가장 많이 알고있을 정의. 학교에서는 이 정의를 사용하지만, 이 정의에는 굉장히 큰 문제가 하나 존재한다. '''저 값이 수렴하는지 어떻게 알아?''' 학교에서는 수렴함이 알려져 있다고만 하고 그냥 아무렇지 않게 쓰지만, 저 값이 수렴한다는 사실은 엄연히 증명히 필요한 명제이다. 증명을 고등학교에서 가르치지 않는 이유는 [[단조 수렴 정리]]가 쓰이기 때문. 증명은 [[단조 수렴 정리]] 항목 참조. #*두 극한값이 같다는 사실은 <math>\frac{1}{n}=x</math>로 치환하면 유도가... 반만 된다. <math>n</math>이 [[무한대]]로 접근함에 따라 <math>x</math>는 '''오른쪽'''에서 0으로 접근하기 때문. <math>x</math>가 음수일 경우에는 따로 증명을 해 줘야한다. 물론, 학교에서는 그냥 그러려니 하고 사용한다. #[[방정식]] <math>\displaystyle \int_1^x\frac{1}{t}\mathrm{dt}=1</math>의 해. 다르게 설명하면, 그래프 <math>y=\frac{1}{x}</math> 아래의 면적을 1부터 <math>x</math>까지 구했을 때, 그 값이 1이 되는 <math>x</math>값을 <math>e</math>라 정의한 것이다. #*여기서 <math>\frac{1}{x}</math>의 부정적분을 [[자연로그]]로 정의하기도 한다. 물론 고등학교에선 밑이 <math>e</math>인 로그를 자연로그로 정의하지만. #그래프 <math>y=a^x</math>의 <math>x=0</math>에서의 접선을 구할 때, 접선의 기울기가 1이 되는 <math>a</math> 값. #<math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}</math>. [[테일러 급수]]를 사용한 정의이다. 물론, 저 급수가 수렴한다는 사실을 보여야 한다. == 값 == 자연상수의 값을 소수점 아래 1000자리 까지 나열하면 다음과 같다. 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341879307021540891499348841675092447614606680822648001684774118537423454424371075390777449920695517027618386062613313845830007520449338265602976067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086574637721112523897844250569536967707854499699679468644549059879316368892300987931277361782154249992295763514822082698951936680331825288693984964651058209392398294887933203625094431173012381970684161403970198376793206832823764648042953118023287825098194558153017567173613320698112509961818815930416903515988885193458072738667385894228792284998920868058257492796104841984443634632449684875602336248270419786232090021609902353043699418491463140934317381436405462531520961836908887070167683964243781405927145635490613031072085103837505101157477041718986106873969655212671546889570350354... 더 자세한 수치를 보고싶은 사람은 [http://www.gutenberg.org/files/127/127.txt 여기로]. 100만 자리까지 기록되어있다. == 성질 == 일부 성질은 정의와 겹친다. #<math>\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}e^x=e^x</math> #<math>\displaystyle \int_1^e\frac{1}{x}\mathrm{dx}=1</math> #[[초월수]] #*<math>e</math>의 발견은 [[원주율]]보다 한참 늦었지만, <math>e</math>가 초월수임은 원주율이 초월수라는 것보다 먼저 증명되었다. #모든 양수 <math>x</math>에 대해, <math>\left(1+\frac{1}{x}\right)^x< e<\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}</math> #*첫 번째 부등식은 <math>\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>가 수렴함을 증명하는 과정에서 유도된다. #모든 [[실수]] <math>x</math>에 대해, <math>e^x\geq x+1</math> #*미분을 이용하자. #<math>\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math> #<math>e^{ix}=\cos x+i\sin x</math> #*[[오일러의 공식]]이라 부르는 그것. 여기에 <math>x=\pi</math>를 넣으면 그 유명한 <math>e^{i\pi}+1=0</math>이 나온다. #<math>\left(\cos x+i\sin x\right)^n=e^{inx}=\cos{nx}+i\sin{nx}</math> #*[[드 므아부르 정리]] ==생성함수의 예== :<math> e = \sum_{n=0}^{\infty} {{1}\over{n!}} = {{1}\over{0!}}+ {{1}\over{1!}}+ {{1}\over{2!}}+ {{1}\over{3!}}+ {{1}\over{4!}} \cdots</math> [[팩토리얼]](!)과의 관계를 확인할수있다. <hr> {{각주}} {{수}} [[분류:상수]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:소문자 제목 (원본 보기) (준보호됨)틀:수 (편집) 틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)