0.999…=1

개요

0.999... = 1은 사람들이 흔히 수학계의 영원한 떡밥이라고 착각하는 참인 명제 중 하나이다. 가끔 evergreenc 같은 유사수학자들이 이를 말도 안 되는 논리를 들어 거짓이라고 설명증명하고는 한다.

먼저 실수의 십진표현에 대하여 알아보자. 어떤 0 이상 1미만의 실수 [math]\displaystyle{ a\in [0, 1) }[/math]에 대하여 어떤 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} \; (a_n = 0, 1, \cdots ,9 \text{ for }n\in\mathbb N) }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ a = \sum_i a_i 10^{-i} }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ a=. \overline{a_1 a_2 a_3 \cdots} }[/math]로 표시하는 것이다. 그외의 범위에 대해서는 [math]\displaystyle{ x = \lfloor x \rfloor + a }[/math]에서 정의된다. 즉, 우리가 알고 있던 무한소수는 사실 무한급수이다.

증명

일단 0.99999...는 초항이 0.9이고 공비가 [math]\displaystyle{ \frac{1}{10} }[/math]인 무한등비급수로 볼 수 있다.
따라서
[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{9}{10} \right )\left ( \frac{1}{10} \right )^k }[/math]=0.999...
[math]\displaystyle{ \frac{9}{10}\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{10} \right )^k }[/math]
자,[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{10} \right )^k }[/math]는 첫째항이 1이고 공비가 [math]\displaystyle{ \frac{1}{10} }[/math]인
등비수열의 합입니다.
[math]\displaystyle{ a_{n}=10^{-n},\sum_{k=1}^{n}10^{-n}=\frac{10-10^{-n+1}}{9} }[/math]
그래서 [math]\displaystyle{ \frac{9}{10}\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{10-10^{-n+1}}{9} }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{9}{10}\times \frac{10}{9}=1 }[/math] 끝.

존나 어렵죠? 그래서 쉬운 정리!

보다 간단한 증명

{{{1}}}

0.99....를 x로 놨을때,

x=0.99999999999999....

10x=9.999999999999999....

10x-x=9.9999....- 0.99999... 이므로,

9x=9

x=1

따라서 0.9999... 는 1 이 된다.

더 쉬운 증명

1은 1.000000000000....과 같다. 즉 1=1.0000000.....

1.0000000.....에서 0.99999....를 뺀다.

그 결과는 0.000000000000.......

소수점 아래로 0이 무한대로 나온다.

즉 1에서 0.99.. 뺀건 0이랑 별 차이 없다고 볼 수 있다.

그래서 0.99는 1과 별 차이 없다.