0.999…=1 편집하기

[[분류:수학]]
== 개요 ==
'''0.999... = 1'''은 사람들이 흔히 ''수학계의 영원한 떡밥''이라고 착각하는 (보통 다루는 공간에서) '''참'''인 명제 중 하나이다. 가끔 [[evergreenc]] 같은 [[유사수학자]]들이 이를 말도 안 되는 논리를 들어 거짓이라고 설명<s>증명</s>하고는 한다.

== 실수의 십진 표현 ==
{{참고|소수 (실수)}}
먼저 실수의 십진 표현에 대하여 알아보자. 어떤 0 이상 1 이하의 실수 <math>a\in [0, 1]</math>에 대하여 어떤 수열 <math>\{a_n\} \; (a_n = 0, 1, \cdots ,9 \text{ for }n\in\mathbb N)</math>이 존재하여 <math>a = \sum_i a_i 10^{-i}</math>일 때 <math>a=. \overline{a_1 a_2 a_3 \cdots}</math>로 표시하는 것이다. 그외의 범위에 대해서는 <math>x = \lfloor x \rfloor + a</math>에서 정의된다. 즉, 우리가 알고 있던 무한소수는 사실 무한급수이다.

== 잘못된 증명 ==
=== 증명은 표현이 정확해야 한다. ===
<blockquote style="padding: 0; border: 0; font-size: inherit; margin: 1em 40px; text-align:center;">
{| style="border-collapse:collapse; border-style:none; background-color:#F8F8F8;display:inline-block;"
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|#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:left;" | “
| style="padding:16px; text-align:left;" |
1은 1.000...과 같다. 즉 1=1.000... <br/>1.000...에서 0.999...를 뺀다.<br/>그 결과는 0.000...<br/>소수점 아래로 0이 무한 개가 나온다.<br/>즉 1에서 0.999...를 뺀 건 0이랑 별 차이 없다고 볼 수 있다.<br/>그래서 0.999...는 1과 별 차이 없다.
| style="color:#707070; width: 20px; vertical-align: bottom; font-size:{{#switch:{{{따옴표크기|{{{5|20px}}}}}}
|#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:right;" | ”
|-
|<div style="line-height:1em;text-align: right"></div>
|}</blockquote>

''별 차이 없다''와 ''같다''는 완전히 다르다. 별 차이 없어도 같지 않을 수 있으며, 별 차이 없음의 기준이 모호하기도 하다. 물론 1 - 0.99... = 0이다.

=== 러시아에선 결과로 증명합니다! ===
1÷9를 연필과 종이를 가지고 직접 계산하던지, 아니면 계산기를 꺼내어 실행해보자. 몇이 나오는가? 0.111… 이다. 즉, 0.111…=1/9이다.
* 0.111… = 1/9
* 9 * 0.111… = 9 * 1/9
* 0.999… = 1

이건 증명이 아니라 확인이다... 애초에 1/9 = 0.111…임을 알면 1 = 0.999…임도 알 것이고….

== 증명 ==
=== 무한이란 끝이 없다 ===
{{ㅊ|0.999...는 반올림 했을때 1이므로 0.999... = 1이다.}}

<blockquote style="padding: 0; border: 0; font-size: inherit; margin: 1em 40px; text-align:center;">
{| style="border-collapse:collapse; border-style:none; background-color:#F8F8F8;display:inline-block;"
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|#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:left;" | “
| style="padding:16px; text-align:left;" |
0.999...를 x라 하자. <br/>x = 0.999...<br/>10x=9.999...<br/>10x - x = 9.999... - 0.999...이므로,<br/>9x = 9, x=1<br/>따라서 0.999...는 1이 된다.
| style="color:#707070; width: 20px; vertical-align: bottom; font-size:{{#switch:{{{따옴표크기|{{{5|20px}}}}}}
|#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:right;" | ”
|-
|<div style="line-height:1em;text-align: right"></div>
|}</blockquote>

[[중학교]] 교과과정에서 이런 식(2, 3)의 증명을 하지만, 이런 논리를 펼치면 9x = 0.8999...1이라는 사람이 꼭 나타나게 된다. 물론 ''[[무한]]''소수의 의미를 안다면 이런 주장은 하지 못할 것이다. '''무한소수에는 끝 자리 숫자라는 것이 존재하지 않는다.''' 하지만 그 사람들의 주장처럼, 여기에서는 0.999…의 수렴성이 증명되지 않는다. 즉 1-1+1-1+… = 1/2([[그란디 급수]])<ref>이런 결과를 내게 하는 급수 계산 방법도 있는데, 그 중 하나가 [[체사로 합]]이다. </ref>과 같은 주장의 여지가 있다. 물론 [[단조수렴정리]]면 끝이지만…. 이 정리를 배우지 않고서는 이 증명을 정당화할 수는 없으며, 극한이나 무한 개념을 배우기 이전인 중학교 때엔 그냥 대충 넘어간다.

=== 등비급수 증명 ===
<blockquote style="padding: 0; border: 0; font-size: inherit; margin: 1em 40px; text-align:center;">
{| style="border-collapse:collapse; border-style:none; background-color:#F8F8F8;display:inline-block;"
| style="color:#707070; width: 20px; vertical-align: top; font-size:{{#switch:{{{따옴표크기|{{{5|20px}}}}}}
|#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:left;" | “
| style="padding:16px; text-align:left;" |
0.999...는 초항이 0.9이고 공비가 <math>\frac{1}{10}</math>인 무한등비급수로 볼 수 있다. 따라서<br/>
<div align=center><math>\displaystyle 0.999\cdots = \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{9}{10} \right )\left ( \frac{1}{10} \right )^k=\frac{9}{10}\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{10} \right )^k</math></div>
여기서 우변의 <math>\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{10} \right )^k</math>는 첫째항이 1이고 공비가 <math>\displaystyle\frac{1}{10}</math>인 등비수열 <math>\displaystyle \{a_n\}</math>의 급수이므로<br />
<div align=center><math>\displaystyle a_{n}=10^{-n}, \; \lim \sum_{k=1}^{n} a_k=\lim \frac{10-10^{-n+1}}{9} = \frac{10}9,</math></div><br />
<div align=center><math>\displaystyle \frac{9}{10}\times \frac{10}{9}=1</math></div>
이다.
| style="color:#707070; width: 20px; vertical-align: bottom; font-size:{{#switch:{{{따옴표크기|{{{5|20px}}}}}}
|#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:right;" | ”
|-
|<div style="line-height:1em;text-align: right"></div>
|}</blockquote>

[[고등학교]] 과정에서 배우는 등비급수를 이용한 증명이다. 이때 이 급수의 수렴성은 자명하므로([[멱급수의 수렴 반경]]) 옳은 증명이 된다.

== 0.999…의 수렴성 ==
0.999…가 수렴한다는 것은 usual topology를 위상으로 택했을 때에나 가능한 일이다. 만약 [[lower limit topology]]를 선택했다면, 0.999…는 '''수렴하지 않는다.'''

== 같이 보기 ==
* [[0으로 나누기]]

{{주석}}