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해밀토니안 행렬 ''H'' = (''H''<sub>''ij''</sub>) 의 계수는 다음과 같다. | 해밀토니안 행렬 ''H'' = (''H''<sub>''ij''</sub>) 의 계수는 다음과 같다. | ||
: ''C'' 원자에서 ''H''<sub>''ii''</sub> = ''α'', 다른 원자A에서 ''α'' + ''h''<sub>A</sub>''β'' | : ''C'' 원자에서 ''H''<sub>''ii''</sub> = ''α'', 다른 원자A에서 ''α'' + ''h''<sub>A</sub>''β'' | ||
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:<math>H\,</math>는 해밀토니안, <math>E\,</math>는 분자 오비탈의 에너지다. | :<math>H\,</math>는 해밀토니안, <math>E\,</math>는 분자 오비탈의 에너지다. | ||
:<math>Hc_1 \phi_1 + Hc_2 \phi_2 = Ec_1 \phi_1 + Ec_2 \phi_2\,</math> | :<math>Hc_1 \phi_1 + Hc_2 \phi_2 = Ec_1 \phi_1 + Ec_2 \phi_2\,</math> | ||
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모든 해밀토니안 적분 <math>H_{ii}\,</math>의 대각선항을 '''쿨롱 적분'''이라고 하고, 원자 ''i'' 와 ''j'' 가 이어졌을 때 <math>H_{ij}\,</math>를 '''공명 적분'''이라고 한다. 휘켈법은 모든 중첩 적분이 [[크로네커 델타]] 와 같다고 가정한다. <math>S_{ij} = \delta_{ij}\,</math> 그리고 모든 0아닌 공명 적분이 같다고 가정한다. 공명 적분 <math>H_{ij}\,</math>는 원자 ''i'' 와 ''j'' 가 이어졌을때 0이 아니다. | 모든 해밀토니안 적분 <math>H_{ii}\,</math>의 대각선항을 '''쿨롱 적분'''이라고 하고, 원자 ''i'' 와 ''j'' 가 이어졌을 때 <math>H_{ij}\,</math>를 '''공명 적분'''이라고 한다. 휘켈법은 모든 중첩 적분이 [[크로네커 델타]] 와 같다고 가정한다. <math>S_{ij} = \delta_{ij}\,</math> 그리고 모든 0아닌 공명 적분이 같다고 가정한다. 공명 적분 <math>H_{ij}\,</math>는 원자 ''i'' 와 ''j'' 가 이어졌을때 0이 아니다. | ||
:<math>H_{11} = H_{22} = \alpha \,</math> | :<math>H_{11} = H_{22} = \alpha \,</math> | ||
:<math>H_{12} = H_{21} = \beta \,</math> | :<math>H_{12} = H_{21} = \beta \,</math> | ||
또 서로다른 원자간의 중첩 적분이 0이라고 가정한다. | 또 서로다른 원자간의 중첩 적분이 0이라고 가정한다. | ||
:<math>S_{11} = S_{22} = 1 \,</math> | :<math>S_{11} = S_{22} = 1 \,</math> | ||
:<math>S_{12} = S_{21} = 0 \,</math> | :<math>S_{12} = S_{21} = 0 \,</math> | ||
189번째 줄: | 193번째 줄: | ||
계산을 쉽게 하기 위해 치환을 했다. 에너지와 계수는 다음 관계가 있다. | 계산을 쉽게 하기 위해 치환을 했다. 에너지와 계수는 다음 관계가 있다. | ||
:<math>x = \frac{\alpha - E}{\beta}\,</math> | :<math>x = \frac{\alpha - E}{\beta}\,</math> | ||
:<math>x \beta = \alpha - E\,</math> | :<math>x \beta = \alpha - E\,</math> | ||
211번째 줄: | 216번째 줄: | ||
<math>E = \alpha - x \beta</math> 관계에 따라 에너지 준위는 다음과 같다. | <math>E = \alpha - x \beta</math> 관계에 따라 에너지 준위는 다음과 같다. | ||
:<math>E = \alpha - \pm 1 \times \beta</math> | :<math>E = \alpha - \pm 1 \times \beta</math> | ||
:<math>E = \alpha \mp \beta</math> | :<math>E = \alpha \mp \beta</math> | ||
220번째 줄: | 226번째 줄: | ||
한 개만 만족하면 나머지도 만족된다. | 한 개만 만족하면 나머지도 만족된다. | ||
:<math>c_2 = -\pm 1 \times c_1\,</math> | :<math>c_2 = -\pm 1 \times c_1\,</math> | ||
:<math>c_2 = \mp c_1\,</math> | :<math>c_2 = \mp c_1\,</math> | ||
그러면 파동 방적식은 다음과 같다. | 그러면 파동 방적식은 다음과 같다. | ||
:<math>\Psi = c_1(\phi_1 \mp \phi_2) \,</math> | :<math>\Psi = c_1(\phi_1 \mp \phi_2) \,</math> | ||
238번째 줄: | 246번째 줄: | ||
[[파일:Butadiene-pi-MOs-Spartan-3D-balls.png|thumb|right|200px|Butadiene molecular orbitals]] | [[파일:Butadiene-pi-MOs-Spartan-3D-balls.png|thumb|right|200px|Butadiene molecular orbitals]] | ||
[[뷰타다이엔]]에 대해 풀면 MO <math>\Psi\,</math>는 4개의 탄소 p <math>\phi\,</math> AO 원자오비탈과 계수 <math>c\,</math>의 선형 결합이다. | [[뷰타다이엔]]에 대해 풀면 MO <math>\Psi\,</math>는 4개의 탄소 p <math>\phi\,</math> AO 원자오비탈과 계수 <math>c\,</math>의 선형 결합이다. | ||
:<math>\ \Psi = c_1 \phi_1 + c_2 \phi_2 + c_3 \phi_3 + c_4 \phi_4</math> | :<math>\ \Psi = c_1 \phi_1 + c_2 \phi_2 + c_3 \phi_3 + c_4 \phi_4</math> | ||
secular equation은 다음과 같다. | secular equation은 다음과 같다. | ||
:<math> | :<math> | ||
\begin{bmatrix} | \begin{bmatrix} |