행렬 노름

행렬 노름(Matrix norm)은 노름을 행렬로 확장한 개념이다.

정의

[math]\displaystyle{ M_n }[/math]을 복소수 성분을 가지는 모든 n차 정사각행렬을 원소로 가지는 벡터공간이라 하자. 함수 [math]\displaystyle{ \left\|\cdot\right\|:M_n\to\mathbb{R} }[/math]이 모든 [math]\displaystyle{ A,B\in M_n }[/math]에 대해

(1) [math]\displaystyle{ \left\|A\right\| \ge 0 }[/math]

(1a) [math]\displaystyle{ \left\|A\right\| =0 \Leftrightarrow A=0 }[/math]

(2) [math]\displaystyle{ \left\|cA\right\|=\left|c\right|\left\|A\right\| }[/math] (단, [math]\displaystyle{ c\in \mathbb{C} }[/math])

(3) [math]\displaystyle{ \left\|A+B\right\|\le\left\|A\right\|+\left\|B\right\| }[/math]

(4) [math]\displaystyle{ \left\|AB\right\|\le\left\|A\right\|\left\|B\right\| }[/math]

를 만족하면 행렬 노름이라 한다. (4)의 경우 노름과는 구별되는 조건인데, 이 조건을 준승법성(submultiplicativity)이라고 한다. 사람마다 (4)를 정의에 포함시키는지의 여부가 다른데, 행렬 노름의 정의에 (4)를 포함시킬 경우 (4)를 만족하지 않는 노름을 일반화 행렬 노름(generalized matrix norm)이라고 하고, (4)를 포함시키지 않을 경우 본문의 행렬을 준승법적 행렬 노름(submultiplicative matrix norm)이라고 한다.

성질

• [math]\displaystyle{ A^2=A }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \|A\|\ge 1 }[/math]이다.
  • [math]\displaystyle{ \|I\| \ge 1 }[/math]이다.
• A가 가역이면 [math]\displaystyle{ \|A^{-1}\|\ge \frac{\|I\|}{\|A\|} }[/math]이다.

예시

다음은 행렬 노름을 각 원소의 절댓값의 합으로 정한 것이다.

[math]\displaystyle{ \left\|A\right\|_1=\sum_{i,j=1}^n\left|a_{ij}\right| }[/math]

다음은 행렬 노름을 각 원소를 제곱하여 더한 후, 다시 제곱근한 것으로 정한 것이다.

[math]\displaystyle{ \left\|A\right\|_2=\left(\sum_{i,j=1}^n \left|a_{ij}\right|^2\right)^\frac{1}{2} }[/math]

다음은 행렬 노름이 아니다.

[math]\displaystyle{ \left\|A\right\|_{\infty}=\max_{1\le i,j\le n}\left|a_{ij}\right| }[/math]

유도된 행렬 노름

노름 [math]\displaystyle{ \left\|\cdot\right\|:\mathbb{C}^n\to\mathbb{R} }[/math]이 정의되었다고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ M_n }[/math] 위에서 정의된 함수

[math]\displaystyle{ \left\|A\right\|=\max_{\left\|x\right\|=1}\left\|Ax\right\|=\max_{x\ne \mathbf{0}}\frac{\left\|Ax\right\|}{\left\|x\right\|} }[/math]

는 행렬 노름이다. 이것을 유도된 노름(induced norm)이라고 한다.

참고문헌

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6