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집합 <math>\mathcal{B}</math>를 | 집합 <math>\mathcal{B}</math>를 | ||
: <math>\mathcal{B}=\{[a,b)\mid a,b\in\mathbb{R},a<b \}</math> | : <math>\mathcal{B}=\{[a,b)\mid a,b\in\mathbb{R},a<b \}</math> | ||
로 정의하면, <math>\mathcal{B}</math>는 <math>\mathbb{R}</math> 위의 위상 <math>\mathcal{T}</math>의 [[기저]]이다. 이때 <math>\mathcal{T}</math>를 '''하한위상(lower limit topology)''' 또는 '''반열린위상(half-open topology)'''이라 하며, [[위상공간]] <math>(\mathbb{R},\mathcal{T})</math>를 '''조르겐프라이 직선(Sorgenfrey line)'''이라 한다. | 로 정의하면, <math>\mathcal{B}</math>는 <math>\mathbb{R}</math> 위의 위상 <math>\mathcal{T}</math>의 [[기저]]이다. 이때 <math>\mathcal{T}</math>를 '''하한위상(lower limit topology)''' 또는 '''반열린위상(half-open topology)'''이라 하며, [[위상공간]] <math>\mathbb{R}_l=(\mathbb{R},\mathcal{T})</math>를 '''조르겐프라이 직선(Sorgenfrey line)'''이라 한다. | ||
<math>\mathcal{B}=\{(a,b]\mid a,b\in\mathbb{R},a<b\}</math>는 <math>\mathbb{R}</math>의 위상 <math>\mathcal{T}'</math>의 기저가 되며, 이때 <math>(\mathbb{R},\mathcal{T}')</math>을 '''상한위상(upper limit topology)'''이라 한다. | <math>\mathcal{B}=\{(a,b]\mid a,b\in\mathbb{R},a<b\}</math>는 <math>\mathbb{R}</math>의 위상 <math>\mathcal{T}'</math>의 기저가 되며, 이때 <math>(\mathbb{R},\mathcal{T}')</math>을 '''상한위상(upper limit topology)'''이라 한다. | ||
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== 성질 == | == 성질 == | ||
* 조르겐프라이 직선은 [[분리가능 공간]]이다. | * 조르겐프라이 직선은 [[분리가능 공간]]이다. | ||
{{숨기기|Proof|가산집합인 유리수 집합 <math>\mathbb{Q}</math>가 <math>\mathbb{R}_l</math>에서 [[조밀집합]]임을 보인다. <math>x\in\mathbb{R}</math>을 고르자. 그러면 <math>x</math>를 포함하는 임의의 열린집합 <math>O_x</math>에 대해 | |||
: <math>x\in [a_x,b_x)\subset O_x</math>, <math>a_x < b_x</math> | |||
인 <math>a_x,b_x\in \mathbb{R}</math>가 존재한다. <math>a_x<b_x</math>이므로 유리수의 조밀성에 의해 <math>r\in [a_x,b_x)\cap \mathbb{Q}</math>가 존재하고, 따라서 <math>x\in \overline{\mathbb{Q}}</math>이다. 이로부터 <math>\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}</math>이다.}} | |||
* 조르겐프라이 직선은 [[제1가산공간]]이다. | * 조르겐프라이 직선은 [[제1가산공간]]이다. | ||
{{숨기기|Proof|각 <math>a\in\mathbb{R}</math>에 대해 하한위상의 가산부분집합 | |||
: <math>\mathcal{B}_a=\left\{\left[a,a+\frac{1}{n}\right)\mid n\in\mathbb{N}\right\}</math> | |||
이 <math>a</math>의 [[부분기저]]가 됨을 보인다. 명백히 임의의 <math>n\in\mathbb{N}</math>에 대해 <math>a\in [a,a+\frac{1}{n})</math>이다. <math>O_a</math>를 <math>a</math>를 포함하는 임의의 열린집합이라 하면, | |||
: <math>a\in [\alpha_a,\beta_a)\subset O_a</math>, <math>\alpha_a<\beta_a</math> | |||
인 <math>\alpha_a,\beta_a\in\mathbb{R}</math>가 존재한다. 그러면 <math>\beta_a - a>0</math>이므로 [[아르키메데스 성질]]에 의해 <math>\frac{1}{n_0}<\beta_a-a</math>인 <math>n_0\in\mathbb{N}</math>가 존재한다. 그러면 | |||
: <math>a\in [a,a+\frac{1}{n_0})\subset [\alpha_a,\beta_a)\subset O_a</math> | |||
이므로 <math>O_a</math>는 <math>\mathcal{B}_a</math>의 원소를 포함한다.}} | |||
* 조르겐프라이 직선은 [[제2가산공간]]이 아니다. | * 조르겐프라이 직선은 [[제2가산공간]]이 아니다. | ||
* 조르겐프라이 직선은 [[연결공간]]이 아니다. | * 조르겐프라이 직선은 [[연결공간]]이 아니다. | ||
* 조르겐프라이 직선은 [[전비연결공간]]이다. | |||
* 조르겐프라이 직선은 [[콤팩트공간]]이 아니다. 조르겐프라이 직선의 콤팩트 부분집합은 가산집합이다. | |||
* 조르겐프라이 직선은 [[린델뢰프 공간]]이다. | * 조르겐프라이 직선은 [[린델뢰프 공간]]이다. | ||
* 조르겐프라이 직선은 [[정규공간]]이다. | * 조르겐프라이 직선은 [[정규공간]]이다. |
2019년 3월 2일 (토) 14:45 판
집합 [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math]를
- [math]\displaystyle{ \mathcal{B}=\{[a,b)\mid a,b\in\mathbb{R},a\lt b \} }[/math]
로 정의하면, [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] 위의 위상 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]의 기저이다. 이때 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]를 하한위상(lower limit topology) 또는 반열린위상(half-open topology)이라 하며, 위상공간 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_l=(\mathbb{R},\mathcal{T}) }[/math]를 조르겐프라이 직선(Sorgenfrey line)이라 한다.
[math]\displaystyle{ \mathcal{B}=\{(a,b]\mid a,b\in\mathbb{R},a\lt b\} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]의 위상 [math]\displaystyle{ \mathcal{T}' }[/math]의 기저가 되며, 이때 [math]\displaystyle{ (\mathbb{R},\mathcal{T}') }[/math]을 상한위상(upper limit topology)이라 한다.
성질
- 조르겐프라이 직선은 분리가능 공간이다.
Proof 가산집합인 유리수 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]가 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_l }[/math]에서 조밀집합임을 보인다. [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math]을 고르자. 그러면 [math]\displaystyle{ x }[/math]를 포함하는 임의의 열린집합 [math]\displaystyle{ O_x }[/math]에 대해
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- 조르겐프라이 직선은 제1가산공간이다.
Proof 각 [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{R} }[/math]에 대해 하한위상의 가산부분집합
이 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 부분기저가 됨을 보인다. 명백히 임의의 [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a\in [a,a+\frac{1}{n}) }[/math]이다. [math]\displaystyle{ O_a }[/math]를 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 포함하는 임의의 열린집합이라 하면,
인 [math]\displaystyle{ \alpha_a,\beta_a\in\mathbb{R} }[/math]가 존재한다. 그러면 [math]\displaystyle{ \beta_a - a\gt 0 }[/math]이므로 아르키메데스 성질에 의해 [math]\displaystyle{ \frac{1}{n_0}\lt \beta_a-a }[/math]인 [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb{N} }[/math]가 존재한다. 그러면
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- 조르겐프라이 직선은 제2가산공간이 아니다.
- 조르겐프라이 직선은 연결공간이 아니다.
- 조르겐프라이 직선은 전비연결공간이다.
- 조르겐프라이 직선은 콤팩트공간이 아니다. 조르겐프라이 직선의 콤팩트 부분집합은 가산집합이다.
- 조르겐프라이 직선은 린델뢰프 공간이다.
- 조르겐프라이 직선은 정규공간이다.
조르겐프라이 평면
곱공간 [math]\displaystyle{ (\mathbb{R},\mathcal{T})\times (\mathbb{R},\mathcal{T}) }[/math]를 조르겐프라이 평면(Sorgenfrey plane)이라고 한다.
- 조르겐프라이 평면은 정칙공간이지만 정규공간이 아니다.
- 조르겐프라이 평면은 분리가능 공간이다.
- 조르겐프라이 평면은 제1가산공간이다.
- 조르겐프라이 평면은 린델뢰프 공간이 아니다.