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: <math>\mathcal{B}=\{[a,b)\mid a,b\in\mathbb{R},a<b \}</math> | : <math>\mathcal{B}=\{[a,b)\mid a,b\in\mathbb{R},a<b \}</math> | ||
로 정의하면, <math>\mathcal{B}</math>는 <math>\mathbb{R}</math> 위의 위상 <math>\mathcal{T}</math>의 [[기저]]이다. 이때 <math>\mathcal{T}</math>를 '''하한위상(lower limit topology)''' 또는 ''' | 로 정의하면, <math>\mathcal{B}</math>는 <math>\mathbb{R}</math> 위의 위상 <math>\mathcal{T}</math>의 [[기저]]이다. 이때 <math>\mathcal{T}</math>를 '''하한위상(lower limit topology)''' 또는 '''반열린구간위상(half-open interval topology)'''이라 하며, [[위상공간]] <math>\mathbb{R}_l=(\mathbb{R},\mathcal{T})</math>를 '''조르겐프라이 직선(Sorgenfrey line)'''이라 한다. | ||
<math>\mathcal{B}=\{(a,b]\mid a,b\in\mathbb{R},a<b\}</math>는 <math>\mathbb{R}</math>의 위상 <math>\mathcal{T}'</math>의 기저가 되며, 이때 <math>(\mathbb{R},\mathcal{T}')</math>을 '''상한위상(upper limit topology)'''이라 한다. | <math>\mathcal{B}=\{(a,b]\mid a,b\in\mathbb{R},a<b\}</math>는 <math>\mathbb{R}</math>의 위상 <math>\mathcal{T}'</math>의 기저가 되며, 이때 <math>(\mathbb{R},\mathcal{T}')</math>을 '''상한위상(upper limit topology)'''이라 한다. | ||
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이므로 <math>O_a</math>는 <math>\mathcal{B}_a</math>의 원소를 포함한다.}} | 이므로 <math>O_a</math>는 <math>\mathcal{B}_a</math>의 원소를 포함한다.}} | ||
* 조르겐프라이 직선은 [[제2가산공간]]이 아니다. | * 조르겐프라이 직선은 [[제2가산공간]]이 아니다. | ||
{{숨기기|Proof|<math>\mathbb{R}_l</math>의 한 기저를 <math>\mathcal{B}'</math>이라 하자. 임의의 <math>x\in\mathbb{R}</math>에 대해 <math>[x,\infty)</math>는 열린집합이고, 따라서 <math>\min B_x=x</math>인 <math>B_x\in \mathcal{B}'</math>가 존재한다. <math>x\ne y</math>이면 <math>B_x\ne B_y</math>이므로, | |||
: <math>|\mathbb{R}|\le|\{B_x:x\in\mathbb{R}\}|\le |\mathcal{B}'|</math> | |||
이고 따라서 <math>\mathcal{B}'</math>는 비가산집합이다.}} | |||
* 조르겐프라이 직선은 [[전비연결공간]]이다. | * 조르겐프라이 직선은 [[전비연결공간]]이다. | ||
* 조르겐프라이 직선은 [[콤팩트공간]]이 아니다. 조르겐프라이 직선의 콤팩트 부분집합은 가산집합이다. | * 조르겐프라이 직선은 [[콤팩트공간]]이 아니다. 조르겐프라이 직선의 콤팩트 부분집합은 가산집합이다. | ||
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== 조르겐프라이 평면 == | == 조르겐프라이 평면 == | ||
[[곱공간]] <math> | [[곱공간]] <math>\mathbb{R}_l\times \mathbb{R}_l</math>를 '''조르겐프라이 평면(Sorgenfrey plane)'''이라고 한다. | ||
* 조르겐프라이 평면은 [[정칙공간]]이지만 정규공간이 아니다. | * 조르겐프라이 평면은 [[정칙공간]]이지만 정규공간이 아니다. |
2019년 3월 2일 (토) 16:28 판
집합 [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math]를
- [math]\displaystyle{ \mathcal{B}=\{[a,b)\mid a,b\in\mathbb{R},a\lt b \} }[/math]
로 정의하면, [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] 위의 위상 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]의 기저이다. 이때 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]를 하한위상(lower limit topology) 또는 반열린구간위상(half-open interval topology)이라 하며, 위상공간 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_l=(\mathbb{R},\mathcal{T}) }[/math]를 조르겐프라이 직선(Sorgenfrey line)이라 한다.
[math]\displaystyle{ \mathcal{B}=\{(a,b]\mid a,b\in\mathbb{R},a\lt b\} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]의 위상 [math]\displaystyle{ \mathcal{T}' }[/math]의 기저가 되며, 이때 [math]\displaystyle{ (\mathbb{R},\mathcal{T}') }[/math]을 상한위상(upper limit topology)이라 한다.
성질
- 조르겐프라이 직선은 분리가능 공간이다.
Proof 가산집합인 유리수 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]가 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_l }[/math]에서 조밀집합임을 보인다. [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math]을 고르자. 그러면 [math]\displaystyle{ x }[/math]를 포함하는 임의의 열린집합 [math]\displaystyle{ O_x }[/math]에 대해
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- 조르겐프라이 직선은 제1가산공간이다.
Proof 각 [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{R} }[/math]에 대해 하한위상의 가산부분집합
이 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 부분기저가 됨을 보인다. 명백히 임의의 [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a\in [a,a+\frac{1}{n}) }[/math]이다. [math]\displaystyle{ O_a }[/math]를 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 포함하는 임의의 열린집합이라 하면,
인 [math]\displaystyle{ \alpha_a,\beta_a\in\mathbb{R} }[/math]가 존재한다. 그러면 [math]\displaystyle{ \beta_a - a\gt 0 }[/math]이므로 아르키메데스 성질에 의해 [math]\displaystyle{ \frac{1}{n_0}\lt \beta_a-a }[/math]인 [math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb{N} }[/math]가 존재한다. 그러면
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- 조르겐프라이 직선은 제2가산공간이 아니다.
Proof [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_l }[/math]의 한 기저를 [math]\displaystyle{ \mathcal{B}' }[/math]이라 하자. 임의의 [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ [x,\infty) }[/math]는 열린집합이고, 따라서 [math]\displaystyle{ \min B_x=x }[/math]인 [math]\displaystyle{ B_x\in \mathcal{B}' }[/math]가 존재한다. [math]\displaystyle{ x\ne y }[/math]이면 [math]\displaystyle{ B_x\ne B_y }[/math]이므로,
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- 조르겐프라이 직선은 전비연결공간이다.
- 조르겐프라이 직선은 콤팩트공간이 아니다. 조르겐프라이 직선의 콤팩트 부분집합은 가산집합이다.
- 조르겐프라이 직선은 린델뢰프 공간이다.
- 조르겐프라이 직선은 정규공간이다.
조르겐프라이 평면
곱공간 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_l\times \mathbb{R}_l }[/math]를 조르겐프라이 평면(Sorgenfrey plane)이라고 한다.
- 조르겐프라이 평면은 정칙공간이지만 정규공간이 아니다.
- 조르겐프라이 평면은 분리가능 공간이다.
- 조르겐프라이 평면은 제1가산공간이다.
- 조르겐프라이 평면은 린델뢰프 공간이 아니다.