로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 피보나치 수열의 소수 번째 항 == 이 문서에서는 <math>F_n=\frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt{5}}, \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>로 정의되는 수열을 기준으로 항 번호를 다룬다. 아래 성질들은 [[메르센 소수]] 문서에 서술된 정리들과 형태가 비슷하다. * '''기본 필요조건''': <math>F_n</math>이 소수이려면 <math>n</math>이 4이거나 소수여야 한다. * '''증명''': <math>n</math>이 4보다 크고 소수가 아니면 <math>n=ab, 2 \leq a < b < n</math>인 약수 <math>a, b</math>가 존재한다. 한편 피보나치 수의 성질인 <math>F_{u+v}=F_{u-1}F_v+F_uF_{v+1}</math>에서 <math>u=kb, v=b</math>라 하면 <math>F_{(k+1)b}=F_{kb-1}F_b+F_{kb}F_{b+1}</math>이고, 이에 따라 <math>F_b \mid F_{kb} \Rightarrow F_a \mid F_{(k+1)b} (k \geq 1)</math>이다. <math>k=1</math>일 때 <math>F_b \mid F_b</math>는 자명하므로, [[수학적 귀납법]]에 의해 <math>k=a:\ F_b \mid F_{ab}=F_n</math>임을 알 수 있다. 한편 <math>3 \leq b < n</math>이므로 <math>2 \leq F_b < F_n</math>이며, <math>F_n</math>은 소수가 될 수 없다. 위 성질은 [[메르센 수]] <math>M_n=2^n-1</math>이 소수이려면 지수도 소수여야 한다는 점과 비슷하다. 하지만 명제의 역은 성립하지 않는다. 즉 <math>n</math>이 소수여도 <math>F_n</math>도 소수라 할 수는 없고, 반례 중 가장 작은 수는 <math>F_{19}=4181=37 \cdot 113</math>이다. 또한 <math>\gcd(F_m, F_n)=F_{\gcd(m, n)}</math> 관계식도 성립하며, 메르센 수에서 <math>\gcd(M_m, M_n)=M_{\gcd(m, n)}</math>인 점과 흡사하다. === 약수 관련 성질 === 이 문단에서 <math>a+b \sqrt{5} \equiv c+d \sqrt{5} \pmod q</math>라 적힌 식은 <math>a \equiv c, b \equiv d \pmod q</math>를 의미하며, 나눗셈은 모듈러 역수를 곱하는 것으로 간주한다. * '''성질 ①''': <math>n</math>이 홀수일 때, <math>F_n</math>의 홀수 약수를 4로 나눈 나머지는 1이다. 즉 모든 홀수 소인수는 [[피타고라스 소수]]이다. * '''증명''': 피보나치 수의 성질 <math>F_{u+v}=F_{u-1}F_v+F_uF_{v+1}</math>에서 <math>u=v+1, n=2v+1</math>을 대입하면 <math>F_n=F_v^2+F_{v+1}^2</math>이다. 또한 <math>F_n</math>의 소인수 <math>q</math> 에 대해 <math>F_v^2 \equiv -F_{v+1}^2 \pmod q</math>이다. 이때 <math>F_v, F_{v+1}</math>은 서로 이웃한 피보나치 수이므로 서로소이다. 즉 <math>xF_{v+1} \equiv 1 \pmod q</math>인 모듈러 역수 <math>x</math>가 존재하고, 이를 대입하면 <math>(xF_v)^2 \equiv -1 \pmod q</math>가 된다. 따라서 -1은 법 <math>q</math>에 대한 [[이차잉여]]이며, 홀수 <math>q</math>는 <math>4m+1</math> 꼴의 소수이다. * '''성질 ②''': <math>p</math>가 소수일 때, <math>q \mid F_p</math>인 소인수 <math>q</math>가 있다. 이때 <math>q \equiv \pm 1 \pmod 5</math>이면 <math>q=4kp+1</math>, <math>q \equiv \pm 2 \pmod 5</math>이면 <math>q=(4k-2)p-1</math> 꼴로 표현된다. (단, <math>k</math>는 자연수) ** 보조정리: <math>q</math>가 소수일 때, <math>q \mid F_{q-\delta}, \delta=\left(\frac{q}{5} \right)</math>. 여기서 괄호 표시는 [[르장드르 기호]]이다. ** 보조정리 증명: <math>2\varphi=1+\sqrt{5}</math>에서 <math>(2\varphi)^q \equiv (1+\sqrt{5})^q \equiv 1+5^{\frac{q-1}{2}}\sqrt{5} \pmod q</math>이다. 여기서 [[페르마의 소정리]] 및 [[오일러의 규준]]에 의해 <math>2\varphi^q \equiv 1+\delta\sqrt{5}</math>이다. <math>\delta=1</math>이면 <math>2\varphi^q \equiv 2\varphi, \varphi^{q-1} \equiv (-\varphi)^{-(q-1)} \equiv 1 \pmod q</math>이고, <math>\varphi^{q-1}-(-\varphi)^{-(q-1)} \equiv 0, F_{q-1} \equiv 0 \pmod q</math>이다. <math>\delta=-1</math>이면 <math>2\varphi^q \equiv -2\varphi^{-1}, \varphi^{q+1} \equiv (-\varphi)^{-(q+1)} \equiv -1 \pmod q</math>이며 <math>\varphi^{q+1}-(-\varphi)^{-(q+1)} \equiv 0, F_{q+1} \equiv 0 \pmod q</math>가 성립한다. 이 두 경우는 <math>F_{q-\delta} \equiv 0 \pmod q</math>로 묶어 쓸 수 있다. * '''증명''': <math>q \mid F_p</math>이면 보조정리에 의해 <math>q \mid \gcd(F_p, F_{q-\delta})=F_{\gcd(p, q-\delta)}</math>이다. 만약 <math>p \nmid q-\delta</math>이면 <math>p</math>는 소수이므로 <math>\gcd(p, q-\delta)=1, q \mid F_1=1</math>이지만 이는 <math>q</math>가 소수라는 전제와 모순이다. 그러므로 <math>p \mid q-\delta, q=mp+\delta</math>이다. <math>q \equiv \pm 1 \pmod 5, \delta=1</math>이면 <math>q=mp+1</math>이며, 4로 나눈 나머지가 1이려면 <math>q=4kp+1</math>이다. <math>q \equiv \pm 2 \pmod 5, \delta=-1</math>이면 <math>q=mp-1</math>이며, 같은 방법으로 <math>q=(4k-2)p-1</math>을 유도할 수 있다. * '''성질 ③''': 어떤 소수 <math>p</math>의 일의 자리가 7 또는 9이고 <math>q=2p-1</math>도 소수이면 <math>q \mid F_p</math>이다. * '''증명''': <math>p \equiv 7 \text{ or } 9 \pmod{10}</math>이면 <math>p \equiv 13 \text{ or } 17 \pmod{20}</math>이며, <math>\left(\frac{5}{q}\right) = -1</math>이다. <math>(\sqrt{5})^q \equiv 5^{\frac{q-1}{2}}\sqrt{5} \equiv -\sqrt{5}, \pmod q</math>를 이용하면 <math>\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^q \equiv \frac{1-\sqrt{5}}{2} \pmod q</math>이므로 <math>\varphi^q \equiv -\varphi^{-1}, \varphi^{q+1} \equiv -1 \pmod q</math>이다. 따라서 <math>\varphi^{2p} \equiv -1, \varphi^p \equiv (-\varphi)^{-p} \pmod q</math>이고, 정리하면 <math>F_p \equiv 0 \pmod q</math>가 된다. * '''예''': <math>37 \mid F_{19}, 73 \mid F_{37}, 157 \mid F_{79}</math> 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț