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(단, <math>\omega_o </math>는 각주파수 <math>2\pi f</math>) 단, 푸리에 급수로 표현하기 위해서는 모든 시간 t에 대해서 <math>\int_{t}^{t+T} |f(t)|dt < \infty </math> 이어야 한다. * a<sub>0</sub> 구하기 <math>a_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)dt</math>이다. 한 주기의 평균값이다. ---- * a<sub>n</sub> 구하기 <math>f(t)</math>에 <math>\cos (n{\omega_o}t)</math>를 곱한 다음 1주기 적분을 한다. 사인/코사인 함수에는 뭘 붙이던지 1주기 적분을 하면 그 값은 0이 된다. <math>\int_{0}^{T} f(t)\cos (n{\omega_o}t)dt =\require{cancel}\cancelto{0}{\int_{0}^{T} a_0\cos (n{\omega_o}t)dt} + \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt + \require{cancel}\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n \sin (n{\omega_o}t)\cos (n{\omega_o}t)dt} </math> <math>= \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt</math> 그리고, <br/> <math>\int_{0}^{T}a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt =\int_{0}^{T}a_n\frac{1+\cos(2n\omega_0t)}{2} = a_n\frac{T}{2}</math> 이므로, <math>a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos(n{\omega_o}t)dt </math> 이다. ---- * b<sub>n</sub> 구하기 <math>f(t)</math>에 <math>\sin (n{\omega_o}t)</math>를 곱한 다음 1주기 적분을 한다. <math>\int_{0}^{T} f(t)\sin(n{\omega_o}t)dt =\require{cancel}\cancelto{0}{\int_{0}^{T} a_0 \sin(n{\omega_o}t)dt} + \require{cancel}\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}a_n \sin(n{\omega_o}t)\cos(n{\omega_o}t)dt }+ \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n \sin^2 (n{\omega_o}t)</math> <math> = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n \sin^2 (n{\omega_o}t)</math> 그리고, <br/> <math>\int_{0}^{T}b_n \sin^2 (n{\omega_o}t)dt = \int_{0}^{T}b_n \frac{1-\cos(2n{\omega_o}t)}{2}dt = b_n\frac{T}{2}</math>이므로, <math>b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin(n{\omega_o}t)dt </math> 이다. === 예시 === 각주파수<math>\omega_0 </math>는 <math>\frac{2\pi}{T}</math>이고, <math>\frac{1}{\omega_0} = \frac{1}{2\pi f} = \frac{T}{2\pi}</math>이다, <s>자주 쓰이니 기억하자</s> ==== 구형파 (사각파)==== 진폭이 A이고 주기가 T인 구형파는 <math>f(t) = \frac{4A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin((2n-1)\omega_0 t)}{2n-1}</math>이다. ===== 증명 ===== <math>f(t)= \begin{cases} A & 0 < t < \frac{T}{2} \\ -A & \frac{T}{2} < t < T \end{cases}</math> <math>a_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)dt</math> 이므로 <math>\frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)dt = \frac{1}{T}\int_{0}^{T/2} A dt +\frac{1}{T}\int_{T/2}^{T} -A dt = \frac{At}{T} \bigg\vert_{0}^{T/2} + \frac{-At}{T} \bigg\vert_{T/2}^{T} = (\frac{A}{2} - 0) + (-A + \frac{A}{2}) = 0</math> 그러므로 <math>a_0 = 0</math> ---- <math>a_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(t)\cos(n\omega_0 t)dt = \frac{2}{T}\int_{0}^{T/2} A\cos(n\omega_0 t)dt + \frac{2}{T}\int_{T/2}^{T} -A\cos(n\omega_0 t)dt </math> <math>= \frac{2}{T}\frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\omega_0}\bigg\vert_{0}^{T/2} -\frac{2}{T}\frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\omega_0}\bigg\vert_{T/2}^{T}</math> <math>= \frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\pi}\bigg\vert_{0}^{T/2} -\frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\pi}\bigg\vert_{T/2}^{T} = \frac{A\sin(\frac{2n\pi}{T} t)}{n\pi}\bigg\vert_{0}^{T/2} -\frac{A\sin(\frac{2n\pi}{T}t)}{n\pi}\bigg\vert_{T/2}^{T}</math> <math>=\left( \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{A\sin(n\pi)}{n\pi}} - \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{A\sin(0)}{n\pi}}\right) - \left( \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{A\sin(2n\pi)}{n\pi}} - \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{A\sin(n\pi)}{n\pi}} \right) = 0</math> 이다. ---- <math>b_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(t)\sin(n\omega_0 t)dt = \frac{2}{T}\int_{0}^{T/2} A\sin(n\omega_0 t)dt + \frac{2}{T}\int_{T/2}^{T} -A\sin(n\omega_0 t)dt </math> <math>= -\frac{2}{T}\frac{A\cos(n\omega_0 t)}{n\omega_0}\bigg\vert_{0}^{T/2} + \frac{2}{T}\frac{A\cos(n\omega_0 t)}{n\omega_0}\bigg\vert_{T/2}^{T} = -\frac{A}{n\pi}\cos\frac{2n\pi}{T}t\bigg\vert_{0}^{T/2} + \frac{A}{n\pi}\cos\frac{2n\pi}{T}t\bigg\vert_{T/2}^{T}</math> <math>= -\frac{A}{n\pi}(\cos n\pi - \cos(0)) + \frac{A}{n\pi}(\cos2n\pi - \cos n\pi)</math> 그런데, <math>\cos2n\pi=1</math>이고, <math>\cos n\pi=(-1)^n</math>이다. 그러면 <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}(1-(-1)^n)</math>이 성립한다. 그러므로, <math>b_n= \begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & n=2k-1 \\ 0 & n=2k \end{cases}</math> (단, k는 정수) 가 성립한다. 그러면 <math>f(t) = \require{cancel}\cancelto{0}{a_0} + \require{cancel}\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos (n{\omega_o}t)} + \frac{4A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin((2n-1)\omega_0 t)}{2n-1} </math> 이다. <math></math> ==== 톱니파 ==== sawtooth wave <math>f(t) = \frac{A}{T}t \quad (0 < t < T)</math> <math>f(t) = \frac{A}{2} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{A}{n\pi} \sin n\omega_0 t</math> ===== 증명 ===== <math>a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\frac{A}{T}t dt = \frac{A}{T^2}\frac{t^2}{2}\bigg\vert_{0}^{T} = \frac{A}{2} </math> ---- <math>a_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}\frac{A}{T}t\cos(n\omega_0 t) dt = \frac{2A}{T^2}\int_{0}^{T}t\cos(n\omega_0 t) dt</math> <math>=\frac{2A}{T^2} \left( \frac{t\sin n\omega_0 t}{n\omega_0}+\frac{\cos n\omega_0 t}{(n\omega_0)^2} \right) \bigg\vert_{0}^{T} = \frac{2A}{T^2} \left( \left( \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{T \sin 2n\pi}{\frac{2n\pi}{T}}}-0 \right)+ \left( \require{cancel}\cancelto{1}{\frac{\cos 2n\pi}{(\frac{2n\pi}{T})^2}} - \require{cancel}\cancelto{1}{\frac{\cos (0)}{(\frac{2n\pi}{T})^2}} \right) \right) = 0</math> 그러므로 <math>a_n = 0 </math> ---- <math>b_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}\frac{A}{T}t\sin(n\omega_0 t) dt = \frac{2A}{T^2}\int_{0}^{T}t\sin(n\omega_0 t) dt</math> <math>=\frac{2A}{T^2} \left( -\frac{t\cos n\omega_0 t}{n\omega_0}+\frac{\sin n\omega_0 t}{(n\omega_0)^2} \right) \bigg\vert_{0}^{T} = \frac{2A}{T^2} \left( \left( -\frac{T^2 \cos 2n\pi}{2n\pi}+0 \right)+ \left( \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{\sin 2n\pi}{(\frac{2n\pi}{T})^2}} - \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{\sin (0)}{(\frac{2n\pi}{T})^2}} \right) \right) = -\frac{A}{n\pi}</math> 그러므로 <math>b_n = -\frac{A}{n\pi} </math> ---- 그러므로 <math>f(t) = \frac{A}{2} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{A}{n\pi} \sin n\omega_0 t</math> 성립. <math></math> <math></math> <math></math> <math></math> ==== 사각 펄스 트레인 ==== rectangular pulse train 진폭이 A, 펄스폭이 <math>\tau</math>이고 주기가 T인 사각 펄스 트레인은 <math>f(t) = \frac{A\tau}{T}+\frac{2A}{n\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sin (\frac{n\pi \tau}{T}) \cos(n\omega_0 t)</math> ===== 증명 ===== <math>f(t)= \begin{cases} A, & (0< t < \frac{\tau}{2}) \\ 0, & (\frac{\tau}{2}< t < T-\frac{\tau}{2} )\\ A, & (T-\frac{\tau}{2}< t < T) \end{cases}</math> ---- <math>a_0=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt = \frac{1}{T} \left( \int_{0}^{\tau/2} A dt + \require{cancel}\cancelto{0}{\int_{\tau/2}^{T-\tau/2} 0 dt} + \int_{T-\tau/2}^{T} A dt \right) = \frac{1}{T}(\frac{A\tau}{2} + At\bigg\vert_{T}^{T-\frac{\tau}{2}}) = \frac{A\tau}{T}</math> ---- <math>a_n=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\cos (n\omega_0 t) dt</math> <math>= \frac{2}{T} \left (\int_{0}^{\tau/2} A \cos (n\omega_0 t) dt + \int_{T- \tau/2}^{T} A\cos (n\omega_0 t) dt \right) </math> <math>=\frac{2}{T} \left( A\frac{\sin \omega_0 t}{n\omega_0}\bigg\vert_{0}^{\tau/2} + A\frac{\sin \omega_0 t}{n\omega_0}\bigg\vert_{T-\tau/2}^{T} \right)</math> <math>=\frac{2}{T} \left( A\frac{\frac{\sin n\pi \tau}{T}}{n\omega_0} - \require{cancel}\cancelto{0}{A\frac{\sin 0}{n\omega_0}} +\require{cancel}\cancelto{0}{A\frac{\sin 2n\pi}{n\omega_0}} - A\frac{\sin \frac{2n\pi}{T} (T-\frac{\tau}{2})}{n\omega_0} \right)</math> <math>=\frac{2}{T} \left( A\frac{\frac{\sin n\pi \tau}{T}}{n\omega_0} - A\frac{- \frac{\sin n\pi \tau}{T}}{n\omega_0} \right) = \frac{2A}{T} \frac{\frac{\sin n\pi \tau}{T}}{n\omega_0} = \frac{2A}{n\pi} \sin \frac{n\pi \tau}{T} , \quad(\omega_0 = \frac{2\pi}{T})</math> ---- <math>b_n=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\sin (n\omega_0 t) dt</math> <math>= \frac{2}{T} \left (\int_{0}^{\tau/2} A \sin (n\omega_0 t) dt + \int_{T- \tau/2}^{T} A\sin (n\omega_0 t) dt \right) </math> <math>=\frac{2}{T} \left( -A\frac{\cos \omega_0 t}{n\omega_0}\bigg\vert_{0}^{\tau/2} + -A\frac{\cos \omega_0 t}{n\omega_0}\bigg\vert_{T-\tau/2}^{T} \right)</math> <math> = \frac{2}{T} \left( -\frac{A\cos \frac{2n\pi}{T} \frac{\tau}{2} }{n\omega_0} \require{cancel}\cancelto{0}{-(-\frac{A\cos(0)}{n\omega_0}) + (-\frac{A\cos 2n\pi}{n\omega_0})} - (-\frac{A\cos \frac{2n\pi}{T}(T-\frac{\tau}{2})}{n\omega_0}) \right)</math> <math> = \frac{2}{T} \left( \require{cancel}\cancelto{0}{-\frac{A\cos \frac{2n\pi}{T} \frac{\tau}{2} }{n\omega_0} + \frac{A\cos \frac{2n\pi}{T}(T-\frac{\tau}{2})}{n\omega_0})} \right) =0</math> ---- 그러므로 <math>f(t) = \frac{A\tau}{T}+\frac{2A}{n\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sin (\frac{n\pi \tau}{T}) \cos(n\omega_0 t)</math> 성립. == 같이 보기 == * [[푸리에 변환]] == 참고 문헌 == * Stein, E., & Shakarchi, R. (2003). ''Fourier analysis an introduction''. Princeton: Princeton University Press. ISBN 069111384X [[분류:해석학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ISBN (원본 보기) (준보호됨)