로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.중간의 다른 편집과 충돌하여 이 편집을 되돌릴 수 없습니다. 스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 정의 == '''페르마 수'''(Fermat number)는 : <math>F_n = 2^{2^n}+1\quad (n\ge 0)</math> 꼴인 [[정수]]를 뜻한다. == 페르마 소수 == '''페르마 소수'''(Fermat prime)는 페르마 수 중 [[소수]]인 수를 말한다. [[피에르 드 페르마]]는 {{대사|모든 페르마 수는 소수이다.}} 라는 [[추측]]을 제시했다. 실제로 처음 다섯 페르마 수 : <math>F_0=2^0+1=3</math> : <math>F_1=2^2+1=5</math> : <math>F_2=2^4+1=17</math> : <math>F_3=2^8+1=257</math> : <math>F_4=2^{16}+1=65537</math> 는 모두 소수이다. 그러나 : <math>F_5=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417</math> 임을 [[레온하르트 오일러]]가 1732년에 발견해 참이 아닌 것으로 밝혀졌다. 이후 <math>F_4</math>보다 큰 페르마 소수는 2021년 현재 발견되지 않았다. : <math>F_6=2^{64}+1=274177\cdot 67280421310721</math> : <math>F_7=2^{128}+1=59649589127497217\cdot 57046889200685129054721</math> 페르마 수의 소수 여부를 가려내는 방법으로 '''[[페팽 소수판정법]]'''이 있다. <math>F_n</math>이 소수이면 합동식 <math>3^{\frac{F_n-1}{2}} \equiv -1 \pmod{F_n}</math>을 만족하고, 그 역도 성립한다. 증명 및 자세한 내용은 해당 문서 참조. 물론 어떤 페르마 수의 소인수가 이미 발견된 상태라면 별도의 판정법이 필요하지는 않다. <math>F_5</math>가 합성수임을 알아낸 것을 시작으로 <math>F_6,F_7,F_8,\cdots</math> 등도 약수가 속속 발견되었다. <math>5 \le n \le 32</math> 범위에서는 모두 합성수이고, 2021년 11월까지 합성수임이 판명 난 페르마 수는 316개이다. 페르마는 초기에 "모든 페르마 수는 소수"라는 추측을 했었지만 현재는 반대로 "<math>n \ge 5</math>에서는 페르마 소수가 존재하지 않는다"와 같이 증명 목표를 뒤집어서 접근하고 있다. 물론 정말 페르마 소수는 더 이상 없는지, 혹은 있더라도 유한 개인지는 아직까지 밝혀지지 않았다. == 성질 == * <math>N=2^n+1</math>이 소수이면 <math>n=2^k\ (k \ge 0)</math> 꼴이다. ** '''증명''': 임의의 자연수는 적당한 홀수 <math>a</math>가 존재하여 <math>n=a \cdot 2^{k}\ (k\ge 0)</math> 형태로 쓸 수 있다. 여기서 <math>a \ge 3</math>이라고 가정하자. <math>2^{2^k}=x</math>로 치환하면 <math>N=2^{2^k \cdot a}+1 = x^a+1</math>로 쓸 수 있으며, 이 식을 인수분해하면 <math>N=(x+1)(x^{a-1}-x^{a-2}+ \cdots -x+1)</math>이므로 <math>x+1 \mid N</math>이다. 이때 <math>x+1 = 2^{2^k}+1 \ge 3,\ x+1<N</math>이므로 <math>N</math>은 소수가 아니다. 따라서 홀수 <math>a</math>는 3 이상이 될 수 없으며, <math>n</math>은 2 이외의 소인수를 가지지 않는다. 페르마 수와 비슷한 모양을 한 [[메르센 수]] <math>M_n=2^n-1</math>의 경우 <math>M_n</math>이 소수이기 위한 필요조건은 <math>n</math>이 소수라는 것이다. 부호를 바꿔서 <math>2^n+1</math>이 소수가 되려면 지수가 2의 거듭제곱이 되어야 하며, 페르마 수와 페르마 소수는 이 전제에 따라 위와 같이 정의된 것이다. === 기본 성질 === # <math>F_0F_1F_2\cdots F_{n-1}=F_n - 2</math> #* '''증명''': 먼저 <math>n=1</math>일 때 <math>F_0 = F_1-2 = 3</math>으로, 주어진 관계식은 참이다. 이어서 <math>n=k (k \ge 1)</math>일 때 참이라고 가정하면 <math>\displaystyle F_{k+1}-2 = 2^{2^{k+1}}-1 = (2^{2^k}-1)(2^{2^k}+1) = (F_{k}-2)F_{k}</math>이고, 여기에 위 관계식을 대입한다. <math>\displaystyle F_{k+1}-2 = (F_0F_1F_2\cdots F_{k-1})\cdot F_{k} = F_0F_1F_2\cdots F_{k}</math> 따라서 <math>n=k+1</math>일 때도 식은 성립한다. 수학적 귀납법에 따라 원 등식은 참이다. # 서로 다른 정수 <math>m,n</math>에 대해 <math>\gcd(F_m,F_n)=1</math>이다. #* '''증명''': 일반성을 잃지 않고 <math>m<n</math>이라 두고 위 성질을 가져온다. <math>\displaystyle F_n - 2 = F_0F_1F_2\cdots F_{n-1}</math>에서 우변에 <math>F_m</math> 항이 들어가 있으므로 <math>F_m \mid F_n - 2</math>이다. 그러면 <math>F_m</math>의 약수 <math>q(>1)</math>에 대해 <math>q \mid F_n - 2</math>가 성립한다. 그런데 페르마 수는 홀수이기에 약수는 무조건 홀수이고, <math>q \ge 3</math>이어야 한다. 따라서 <math>q \nmid F_n</math>이고, <math>F_m,F_n</math>의 공약수는 1 외에는 존재하지 않는다. 따라서 서로 다른 페르마 수는 서로소이다. # <math>n \ge 2</math>일 때, <math>F_n</math>을 120으로 나눈 나머지는 17이다. #* '''증명''': <math>2^8 \equiv 2^4 \pmod 120</math>이므로, 자연수 <math>k</math>에 대해 <math>2^{4k} \equiv 16 \pmod{120}</math>이다. 한편 2 이상의 <math>n</math>에 대해 <math>F_n = 2^{2^n}+1 = 2^{4k}+1</math> 꼴로 나타낼 수 있으며, <math>F_n \equiv 17 \pmod{120}</math>이 성립한다. #* 따라서 17 이상의 페르마 수를 십진법으로 쓰면 일의 자리수는 항상 7이다. === 약수 관련 성질 === # 페르마 수 <math>F_n</math>의 약수는 항상 <math>k\cdot 2^{n+1}+1</math>의 형태이다. #* '''증명''': <math>q\mid F_n</math>인 소인수 <math>q</math>를 가정하자. 그러면 (★) <math>2^{2^n} \equiv -1 \pmod q</math>이고, 양변을 제곱하면 <math>2^{2^{n+1}} \equiv 1 \pmod q</math>이다. 한편 [[페르마의 소정리]]에 의해 <math>2^{q-1} \equiv 1 \pmod q</math>도 성립한다. 즉 <math>q\mid 2^{q-1}-1,\ q\mid 2^{2^{n+1}}-1</math>이고, 따라서 <math>q\mid \gcd(2^{2^{n+1}}-1, 2^{q-1}-1)</math>이다. [[유클리드 호제법]]으로 최대공약수를 다시 쓰면 <math>q \mid 2^{\gcd(2^{n+1},q-1)}-1</math>이다. 이때 <math>2^{n+1}</math>의 약수는 항상 2의 거듭제곱이므로 <math>\gcd(2^{n+1},q-1) = 2^m (m\le n+1)</math> 꼴로 써진다. 만약 <math>m\le n</math>이라면, <math>q \mid 2^{2^m}-1</math>이므로 <math>2^{2^m} \equiv 1 \pmod q</math>이다. 여기서 양 변을 제곱할 때마다 좌변의 지수의 지수가 1씩 올라가서 <math>2^{2^n} \equiv 1 \pmod q</math>에 도달한다. 하지만 이는 방금 전 (★) 식과 모순이다. 따라서 <math>m=n+1</math>이어야 하고, <math>\gcd(2^{n+1},q-1) = 2^{n+1}</math> 즉 <math>2^{n+1} \mid q-1,\ q \equiv 1 \pmod{2^{n+1}}</math>이다. 임의의 약수 역시 이 성질을 만족하는 소인수들의 곱이므로 마찬가지로 성립한다. #* 여기까지가 [[레온하르트 오일러]]가 이끌어낸 성질이다. 실제로 그는 이 정리를 이용하여 <math>F_5</math>의 약수를 구할 수 있었다. 구체적으로는 <math>q\equiv 1 \pmod {2^6}</math>을 만족하는 소수들을 나열하면 <math>q \in \{193, 257, 449, 577, 641, \cdots \}</math>이다. 이들 수로 차례대로 직접 나눠본 결과 약수 641을 찾았고, 나눈 몫인 6700417이 소수라는 사실도 이 방법으로 밝혀냈다. <ref>[http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2007-03.pdf MAA Online, "How Euler factored F<sub>5</sub>"]</ref> # <math>n \ge 2</math>일 때, 페르마 수 <math>F_n</math>의 약수는 항상 <math>k\cdot 2^{n+2}+1</math>의 형태이다. #* 이 정리는 [[에두아르 뤼카]]가 증명한 것으로, 바로 위 오일러의 정리의 강화판이라 할 수 있다. #* '''증명''': <math>q</math>를 <math>F_n</math>의 소인수라 하자. <math>2^{2^n}+1 \equiv 0 \pmod q</math>에서 양 변에 <math>2\cdot 2^{2^{n-1}}</math>을 더한다. 그러면 <math>\left(2^{2^{n-1}}+1 \right)^2 \equiv 2\cdot 2^{2^{n-1}} \pmod q</math>이며, <math>x=2^{2^{n-2}}</math>라 하면 <math>F_{n-1}^2 \equiv 2x^2 \pmod q</math>과 같이 쓸 수 있다. 이때 <math>\gcd(x,q)=1</math>이므로 <math>xy \equiv 1 \pmod q</math>인 <math>y</math>가 존재한다. 이전 식의 양 변에 <math>y^2</math>을 곱하면 <math>y^2 F_{n-1}^2 \equiv 2 \pmod q</math>가 된다. 이어 <math>a = y F_{n-1} \mod q </math>라 하면 <math>a^2 \equiv 2 \pmod q</math>와 같이 써진다. 이 식을 <math>2^{2^n} \equiv -1 \pmod q</math>에 대입하면 <math>a^{2^{n+1}} \equiv -1 \pmod q</math>이고, 양 변을 제곱하면 <math>a^{2^{n+2}} \equiv 1 \pmod q</math>이다. 한편 위 기본 성질에 의해 <math>\gcd(F_{n-1},F_{n})=1</math>이므로 <math>\gcd(F_{n-1},q)=1</math>이고, <math>y,q</math> 끼리도 서로소이므로 <math>a,q</math> 역시 서로소이다. 그러므로 페르마의 소정리에 따라 <math>a^{q-1} \equiv 1 \pmod q</math>이다. 그 다음 단계는 바로 위의 정리와 같은 방법으로 접근하여 <math>2^{n+2} \mid q-1,\ q \equiv 1 \pmod{2^{n+2}}</math>임을 알 수 있다. === 정다각형 작도 === *자세한 내용은 [[작도 가능한 정다각형]] 문서 참조. 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용하여 [[작도]]할 수 있는 [[정다각형]]의 조건은 페르마 소수와 관련이 있다. 정N각형이 작도 가능하려면 <math>\varphi(N)=2^{n}</math>, 즉 N의 [[오일러 피 함수]] 값은 2의 거듭제곱이 되어야 한다. *<math>\varphi(N)=2^{n}</math>이면 <math>N=2^{m}p_1p_2\cdots p_k</math> 꼴이다. 여기서 <math>p_j</math>는 서로 다른 페르마 소수이다. ** '''보조정리''': 소수 <math>p</math>가 페르마 소수이면 <math>\varphi(p)=2^{n}\ (n \ge 1)</math>을 만족하고, 그 역도 성립한다. ** '''보조정리의 증명''': 소수의 오일러 피 함수 값은 <math>\varphi(p)=p-1</math>이다. <math>p=2^{2^{\ell}}+1</math>이 페르마 소수이면 <math>\varphi(p)=2^{2^{\ell}}</math>이므로 2의 거듭제곱이 된다. 역으로, <math>\varphi(p)=2^n</math>을 만족하는 소수에 대해 <math>p=2^n+1</math> 형태이다. 위의 '기본 성질'에 의해 <math>2^n+1</math>이 소수가 되려면 <math>n=2^{\ell}</math> 꼴이 되어야 하며, 이는 곧 <math>p</math>는 페르마 소수임을 뜻한다. ** 보조정리에 따라 위 명제의 역이 성립함을 알 수 있고, 증명은 <math>\gcd(a,b)=1 \Rightarrow \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)</math>를 이용하면 된다. ** '''증명''': <math>N=2^{m}p_1^{r_1}p_2^{r_2}\cdots p_k^{r_k}</math>로 소인수분해가 된다고 하자. 여기서 <math>p_j(1 \le j \le k)</math>는 서로 다른 홀수 소수이다. 그러면 <math>\displaystyle \varphi(N)=\varphi(2^m) \prod_{j=1}^k {\varphi(p_j^{r_j})} = 2^{m-1} \prod_{j=1}^k {(p_j-1)p_j^{r_j-1}}</math>이다. 이때 가정에서 <math>\varphi(N)</math>이 오직 2만을 소인수로 가진다고 했으므로, <math>(p_j-1)p_j^{r_j-1}</math>항은 모두 1이거나 2의 거듭제곱이 되어야 한다. <math>p_j^{r_j-1}</math> 항은 밑이 홀수 소수라고 가정했으므로 <math>r_j=1</math>이어야 한다. 또, <math>p_j-1 \ge 2</math>이므로 <math>p_j-1 = 2^{n_j}</math> 형태여야 한다. 보조정리에 따라 이 조건을 만족하는 소수 <math>p_j</math>는 페르마 소수이고, <math>N=2^{m}p_1p_2\cdots p_k</math>가 된다. 따라서 변이 홀수인 정다각형이 작도 가능하려면 서로 다른 페르마 소수의 곱이 되어야 한다. == 페르마 수의 소인수분해 == [http://www.prothsearch.com/fermat.html#Complete 이 페이지]에서 각 페르마 수의 소인수 목록을 볼 수 있다. 2021년 11월 27일까지 합성수로 판명난 수는 316개, 발견된 소인수는 360개이다. 소인수가 새로 발견되면 [http://www.fermatsearch.org/news.html 이 페이지]에서 소식이 업데이트 된다. 구체적인 현황은 아래와 같다. *<math>5 \le n \le 11</math>: 소인수분해 완료. 각 소인수의 십진법 표현은 [https://link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-0-387-21850-2%2F1 여기]의 2~3쪽에 적혀 있다. *<math>n=12</math>: 현재까지 소인수 6개가 알려졌고, 여인수(cofactor)<ref>원래 수에서 알려진 소인수들로 나눈 몫</ref>는 합성수이다. *<math>n=13</math>: 현재까지 소인수 4개가 알려졌고, 여인수는 합성수이다. *<math>n \in \{15, 19, 25, 52, 287\}</math>: 현재까지 소인수 3개가 알려졌다. <math>F_{15},F_{19}</math>의 여인수는 합성수이고, 나머지 세 경우는 여인수의 소수 여부를 모른다. *<math>n \in \{16, 17, 18, 27, 30, 36, 38, 39, 42, 77, 147, 150, 284, 416, 417\}</math>: 현재까지 소인수 2개가 알려졌다. <math>F_{16}, F_{17}, F_{18}</math>의 여인수는 합성수이고, 나머지 수들은 여인수의 소수 여부를 모른다. *<math>n \in \{14, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 32, 37, 40\}</math>: 현재까지 소인수 하나가 알려졌다. <math>F_{14}, F_{21}, F_{22}, F_{23}</math>의 여인수는 합성수이고, 나머지 수들은 여인수의 소수 여부를 모른다. *<math>n=20\ \text{or}\ 24</math>: [[페팽 소수판정법]]에 의해 합성수라는 사실은 알고 있지만 소인수는 아직까지 발견되지 않았다. *<math>n \in \{33, 34, 35, 41, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51,\cdots \}</math>: 해당 수가 소수인지는 아직 모른다. * 그 외 <math>n \ge 43</math> 범위에서 소인수가 하나 알려진 페르마 수 274개가 있다. == 같이 보기 == * [[페팽 소수판정법]] * [[메르센 소수]] * [[피어폰트 소수]] * [[프로트 소수]] == 외부 링크 == * [http://www.fermatsearch.org/index.html Distributed Search for Fermat Number Divisors] {{각주}} {{소수}} [[분류:정수론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · 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