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g^{(n-k+1)}(x)\right)</math> 가 된다. 또한, 이를 '조합적'으로 나타내면 다음과 같다: :<math>\frac{\mathrm d ^n}{\mathrm dx^n} f(g(x)) = \sum_{\pi \in \Pi }f^{(|\pi|)}(g(x)) \prod_{B\in \pi} g^{(|B|)}(x).</math> 이때 <math>\pi</math>는 <math>\{1, \cdots, n\}</math>의 partition이며 <math>\Pi</math>는 그러한 <math>\pi</math>들의 집합이고, <math>B \in \pi</math>는 partition <math>\pi</math>의 한 'block'을 뜻하고, <math>\pi</math>의 cardinality는 'block'의 수, <math>B</math>의 cardinality는 'block' <math>B</math>의 size를 말한다. 위 식에서의 <math>f^{(\cdot)}(g(x)) \prod (g^{(\cdot)}(x))^\cdot</math>의 계수들('''Faà di Bruno coefficients''') :<math>\frac {n!}{m_1! m_2! \cdots 1!^{m_1} 2!^{m_2}\cdots}</math> 은 정수 <math>n</math>을 :<math>n=\underbrace{1+\cdots+1}_{m_1} \,+\, \underbrace{2+\cdots+2}_{m_2} \,+\, \underbrace{3+\cdots+3}_{m_3}+\cdots</math> 으로 나누는 partition의 수이며, Bell polynomial에도 나타난다. 참고로, Bell polynomial은 통계학의 [[누적량]](cumulant)과도 관계가 있다. 우리는 이 식을 이용하여 역함수의 <math>n</math>-계 도함수의 'linear recurrence'를 얻을 수 있다. ==다변수 미적분으로의 확장== 위의 <math>\pi, \; \Pi, \; B</math>의 정의를 그대로 가져와 쓰면, <math>y=u(x_1 , x_2 ,\cdots , x_n)</math>라고 할 때, :<math>\frac{\partial ^n}{\partial x_1 \cdots \partial x_n} f(y) = \sum_{\pi \in \Pi} f^{(|\pi|)}(y) \prod_{B\in\pi} \frac{\partial^{|B|}y}{\prod_{j\in B}\partial x_j}</math> 이다. 예를 들어 <math>n=3</math>이라고 하면 :<math>\begin{align}{\partial^3 \over \partial x_1\, \partial x_2\, \partial x_3}f(y) & = f'(y){\partial^3 y \over \partial x_1\, \partial x_2\, \partial x_3} \\ & + f''(y) \left( {\partial y \over \partial x_1} \cdot{\partial^2 y \over \partial x_2\, \partial x_3} +{\partial y \over \partial x_2} \cdot{\partial^2 y \over \partial x_1\, \partial x_3} + {\partial y \over \partial x_3} \cdot{\partial^2 y \over \partial x_1\, \partial x_2}\right) \\ & + f'''(y) {\partial y \over \partial x_1} \cdot{\partial y \over \partial x_2} \cdot{\partial y \over \partial x_3} \end{align}</math> 이다. 또한, 변수가 중복된 경우에는 다음과 같다: :<math>\partial_\tau f(y) = \sum_{\tau = \bigoplus m_i\tau_i} M f^{(|\tau|)} (y) \prod_{i} \partial_{\tau_i} y</math> 이때 <math>\tau= \{ \underbrace{1, \cdots , 1}_{k_1}, \cdots, \underbrace{n, \cdots , n}_{k_n}\}</math>는 multiset이며, <math>\partial_{\tau } = {\partial^{\sum k_i} \over \prod_i \partial x_i^{k_i}}</math>이고, <math>\bigoplus m_i\tau_i</math>는 multiset으로서의 합집합을 나타낸다. 이때 <math>m_i \tau_i = \underbrace{\tau_i \cup \cdots \cup \tau_i}_{m_i}</math>이고 <math>\bigoplus</math>은 <math>\tau_i</math>들이 모두 다름을 말한다. 또한 <math>|\tau|</math>는 <math>\tau = \bigoplus m_i\tau_i</math>로 쪼개었을 때의 partition의 수 <math>\sum m_i</math>를 말하며, multiplicity <math>M</math>는 <math>\tau</math>의 같은 수들을 모두 다르게 보았을 때와 같게 보았을 때의 비율을 말한다. 또한, :<math>M = \frac{\prod k_i !}{\prod \tau_i !!^{m_i} \prod m_i !}</math> 이 성립한다. 이때 !!는 주어진 multiset 안에서 같은 문자들을 다르게 보고 교환하여 같은 multiset을 만드는 방법의 수, 즉 <math>\tau!! = \prod k_i</math>를 말한다. ==증명== 우리는 다음의 두 가지 point에 집중할 것이다: *<math>\frac{\partial^n}{\partial x_1 \cdots \partial x_n}</math>, 같은 변수들도 일단 index를 다르게 하고 미분했을 때의 식. 우변의 계수는 모두 1일 것이다. *앞의 결과에서 동류항을 정리. 예를 들면, 만약 <math>n=3</math>일 때 <math>x_2 = x_3</math>이라면, 다음 두 항은 '중복도 2의' 한 항으로 합쳐지게 된다: ::<math>\frac{\partial y}{\partial x_2}\frac{\partial^2 y}{\partial x_1\partial x_3} + \frac{\partial y}{\partial x_3}\frac{\partial^2 y}{\partial x_1\partial x_2} = 2\frac{\partial y}{\partial x_2}\frac{\partial^2 y}{\partial x_1\partial x_2}.</math> :이런 '중복된 항의 수'를 구하는 데 초점을 둔다. 먼저 다음의 <math>\{1, \cdots, n+1\}</math>의 partition을 만드는 inductive한 방법(algorithm)을 생각하자: <math>\pi_n</math>를 <math>\{1, \cdots, n\}</math>의 partition이라고 할 때, * <math>\pi_{n+1} = \pi_n \cup \{\{n+1\}\}</math>, * <math>\pi_{n+1} = \pi_n \setminus \{B\} \cup \{B \cup \{n+1\}\}</math> for some <math>B\in \pi_n</math>. 이 두 가지 방법으로 모든 <math>\{1, \cdots , n+1\}</math>의 partition을 만들 수 있음은 당연하다. 이제 다음을 귀납적으로 보이자: :<math>\frac{\partial ^n}{\partial x_1 \cdots \partial x_n} f(y) = \sum_{\pi} f^{(|\pi|)}(y) \prod_{B\in\pi} \frac{\partial^{|B|}y}{\prod_{j\in B}\partial x_j}.</math> 이때, <math>n\ge 0</math>이다. 만약 <math>n=0</math>이면, 다른 경우와 같이 <math>\pi</math>는 <math>\{1, \cdots, n\}</math>의 특정한 non-empty subset들을 모은 것인데 <math>\{1, \cdots , n \} = \emptyset</math> if <math>n=0</math>에서 <math>\pi</math>는 아무 원소도 가질 수 없고, 즉 <math>\pi=\emptyset</math>으로 보는 것이 타당하다. 이에 따라 <math>n=0</math>일 때에 <math>f(y) = f(y)</math>로 성립한다. 이제 다음 전개를 보자: :<math>\frac{\partial^{n+1}}{\partial x_1 \cdots \partial x_{n+1}} f(y) \\= \frac \partial {\partial x_{n+1}} \sum_{\pi} f^{(|\pi|)}(y) \prod_{B\in\pi} \frac{\partial^{|B|}y}{\prod_{j\in B}\partial x_j} \\= \sum_{\pi} \left[ f^{(|\pi|+1)}(y) \frac {\partial y} {\partial x_{n+1}} \cdot \prod_{B\in\pi} \frac{\partial^{|B|}y}{\prod_{j\in B}\partial x_j}+f^{(|\pi|)}(y) \frac {\partial y} {\partial x_{n+1}} \prod_{B\in\pi} \frac{\partial^{|B|}y}{\prod_{j\in B}\partial x_j}\right] \\= \sum_{\pi} \left[ f^{(|\pi|+1)}(y) \frac {\partial y} {\partial x_{n+1}} \cdot \prod_{B\in\pi} \frac{\partial^{|B|}y}{\prod_{j\in B}\partial x_j}+f^{(|\pi|)}(y) \sum_{B\in\pi} \left( \frac{\partial^{|B|+1}y}{\partial x_{n+1}\prod_{j\in B} \partial x_j} \cdot \prod_{B\ne C\in \pi}\frac{\partial^{|C|}y}{\prod_{j\in C} \partial x_j} \right)\right] </math> 여기서 각각의 partition <math>\pi</math>에 대해, 괄호 안의 두 항은 각각 inductively partition을 만드는 두 방법에 대응된다. 즉 위의 식은 <math>n+1</math>에서의 모든 partition에 대한 sum이 되고, 즉 증명이 완료된다. 이제 중복된 경우의 중복도를 생각해보자. 일단 중복된 변수가 있을 때의 식이 :<math>\partial_\tau f(y) = \sum_{\tau = \bigoplus m_i\tau_i} M f^{(|\tau|)} (y) \prod_{i} \partial_{\tau_i} y</math> 의 형태가 됨은 자명하다. 이제 <math>M</math>에 관한 식 :<math>M = \frac{\prod k_i !}{\prod \tau_i !!^{m_i} \prod m_i !}</math> 만 증명하면 된다. 1부터 <math>n</math>까지의 수가 써진 타일이 있다고 생각해보자. <math>i</math> 타일은 <math>k_i</math> 개씩 있고, 즉 총 <math>\sum k_i</math> 개의 타일이 있다. 이를 모은 집합을 <math>\tau</math>라 하고, 이의 분할 <math>\tau = \bigoplus m_i \tau_i</math>를 상정하자. 이제 이 분할을 중복하여 만들 수 있는 수에 대해 생각해 보면, 먼저 <math>\tau</math>의 수들을 모두 permutation하면 <math>\prod k_i !</math> 개의 중복도가 나오는데, 이를 각각의 block 안에서 같은 수들이 구별되지 않아서 생기는 중복도인 <math>\prod \tau_i!!^{m_i}</math>와 같은 block들이 구별되지 않아서 생기는 중복도인 <math>\prod m_i!</math>으로 나누어 주어야 한다. 이제 위의 M에 대한 식이 증명되었다. == 참고문헌 == * Michael Hardy, Combinatorics of Partial Derivatives, the electronic journal of combinatorics '''13''' (2006), #R1. http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v13i1r1/pdf 에서 2016.06.19.에 확인. {{각주}} [[분류:해석학]][[분류:미적분학]][[분류:조합론]][[분류:수학 정리]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · 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· à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)