타원적분

타원적분은 타원의 둘레를 구할 때 등장하는 대표적인 비초등함수이다.

정의

제 2종 완전 타원 적분은 다음과 같이 정의됩니다.

[math]\displaystyle{ 제\;2종\;완전\;타원\;적분\left ( a,k \right )=\\ \int_{0}^{a}\sqrt{1-k\sin^{2}t}dt }[/math]

타원의 둘레

[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 }[/math] 을 양함수로 고쳐보자.
양변에 [math]\displaystyle{ a^{2}b^{2} }[/math]를 곱하면,
[math]\displaystyle{ b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2} }[/math]이 된다.
양변에 [math]\displaystyle{ b^{2}x^{2} }[/math]를 빼면,
[math]\displaystyle{ a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}-b^{2}x^{2} }[/math]이 된다.
양변을 [math]\displaystyle{ {a}^{2} }[/math]로 나누어주면,
[math]\displaystyle{ y^{2}=b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}} }[/math] [math]\displaystyle{ y=\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}} }[/math]이 됩니다. 위 함수를 미분하면, [math]\displaystyle{ y=u^{\frac{1}{2}},u=b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}\\ \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{-2b^{2}x}{a^{2}}\\ \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-2b^{2}x}{2a^{2}\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}}}\\ \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-b^{2}x}{a^{2}\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}}}\\ \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-bx}{a^{2}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}}\\ \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{-bx}{a\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\\ }[/math] 이제 위 식을 제곱합니다.
[math]\displaystyle{ \frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}\\ }[/math] 곡선의 길이
[math]\displaystyle{ y=f\left ( x \right ),a\leq x\leq b }[/math] 는
[math]\displaystyle{ \int^{b}_{a} \sqrt{1+\left \{ f'\left ( x \right ) \right \}^{2}}dx }[/math]
를 이용해 봅시다.
위를 그대로 대입하면,
[math]\displaystyle{ y=0이면 \frac{x^2}{a^{2}}=1,x^{2}=a^{2},x=a,-a입니다.\\ 이제\; \; 타원\; \; 윗부분의\; \; 곡선의\; \; 길이는\; \; 다음과\; \; 같이\; \; 주어집니다.\\ }[/math]

[math]\displaystyle{ \int_{-a}^{a}\sqrt{1+\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\ \int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}+\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\ \int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )+b^{2}x^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\ \int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{\left ( a^{2}-x^{2} \right )+\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}}{\left ( a^{2}-x^{2} \right )}}dx\\ \int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}dx\\ 그런데\; 위\; 식에서\; x\; 대신\; -x를\;붙여도\; 똑같이\; 성립하므로,\\ 2\int_{0}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}dx\\ 아랫부분도\; 제곱하면\; 똑같은\; 식이\; 되므로\; 아랫부분까지\; 합치면.\\ 4\int_{0}^{a}\sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}dx\\ 이제 \; x=a \sin t로\;치환하면,\frac{dx}{dt}=a \cos t가\; 됩니다.\\ 4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t \sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )a^{2}\sin^{2} t}{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}}dt\\ 4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos t \sqrt{\frac{a^{2}+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )a^{2}\sin^{2} t}{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}}dt\\ 4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\cos^{2}t+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )\sin^{2} t\cos^{2}t}{1-\sin^{2}t}}dt\\ 4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\cos^{2}t+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )\sin^{2} t\cos^{2}t}{\cos^{2}t}}dt\\ 4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\left ( \frac{b^{2}}{a^{2}}-1 \right )\sin^{2}t}dt\\ 4a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\left ( 1-\frac{b^{2}}{a^{2}} \right )\sin^{2}t}dt\\ 윗식에서\; 정의한\; 제2종\; 완전\; 타원\;적분을\;적용해\;봅시다.\\ 4a\times제\;2종\; 완전\; 타원\;적분\left ( \frac{\pi}{2},1-\frac{b^{2}}{a^{2}}\right ).\\ 이\;됩니다. }[/math]

근삿값

위 적분은 너무 어려우므로,이녀석의 근삿값이나마 구할 수 있게 해주는 식이 있다.
바로,
[math]\displaystyle{ 타원의\;둘레\;길이\approx \frac{5\pi\left ( a+b \right )}{4}-\frac{ab\pi}{a+b}\\ 이것입니다. }[/math]

각주