코시의 적분공식: 두 판 사이의 차이

2015년 7월 28일 (화) 18:26 판

틀:학술

코시의 적분공식(Cauchy's integral formula)은 복소함수론의 정리이다.

진술

Γ를 양의 방향의 단순닫힌 경로라고 하자. f가 Γ를 포함하는 단순연결영역에서 해석적이고 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]이 Γ 내부의 임의의 점이라면,

[math]\displaystyle{ f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}dz }[/math]

이다. 더욱이 f의 n계도함수는

[math]\displaystyle{ f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz }[/math]

로 나타낼 수 있다.

증명

[math]\displaystyle{ \dfrac{f(z)}{z-z_0} }[/math]는 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]을 제외한 D 위의 모든 점에서 해석적이다. 따라서 Γ는 양의 방향을 가지는 원 [math]\displaystyle{ C_r : |z-z_0|=r }[/math]로 연속적 변형이 가능하다. 따라서

[math]\displaystyle{ \int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\int_{C_r} \frac{f(z)}{z-z_0}dz }[/math]

이다. 이때

[math]\displaystyle{ \int_{C_r} \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\int_{C_r} \frac{f(z_0)}{z-z_0}dz+\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz }[/math]

이고, [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{C_r} \frac{f(z_0)}{z-z_0}dz =f(z_0)2\pi i }[/math]이므로,

[math]\displaystyle{ \int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}dz = f(z_0)2\pi i + \int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ M_r=\max\{|f(z)-f(z_0)| : z\; \mathrm{on}\; C_r\} }[/math]이라 하자. 그러면

[math]\displaystyle{ \left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\right|\le \frac{M_r}{r} }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ \left|\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz\right|\le 2\pi r \cdot \frac{M_r}{r} = 2\pi M_r }[/math]

이다. f는 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]에서 연속이므로, [math]\displaystyle{ r\to 0 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ M_r \to 0 }[/math]이다. 따라서

[math]\displaystyle{ \lim_{r\to +0}\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz=0 }[/math]

이고, 원하는 결론을 얻는다.

예시

C를 양의 방향으로 한 번 가로지르는 원 [math]\displaystyle{ |z|=2 }[/math]라고 할 때, [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz }[/math]의 값을 구하자.

[math]\displaystyle{ f(z)=\dfrac{\sin z}{z-4} }[/math]로 정의하면, [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz=\int_C \frac{f(z)}{z^2}dz }[/math]이고 [math]\displaystyle{ f'(z)=\dfrac{(z-4)\cos z-\sin z}{(z-4)^2} }[/math]이다.

따라서 [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz=\int_C \frac{f(z)}{z^2}dz=f'(0)2\pi i=-\dfrac{\pi i}{2} }[/math]를 얻는다.

같이 보기

참고문헌

Saff, E. B.; Snider, A. D. (2003), Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering, Science, and Mathematics (3rd ed.), Prentice Hall, ISBN 0139078746

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 == 진술 ==
-$\Gamma$를 양의 방향의 단순닫힌 경로라고 하자. $f$가 $\Gamma$를 포함하는 단순연결영역에서 [[해석함수|해석적]]이고 $z_0$이 $\Gamma$ 내부의 임의의 점이라면,
+Γ를 양의 방향의 단순닫힌 경로라고 하자. ''f''가 Γ를 포함하는 단순연결영역에서 [[해석함수|해석적]]이고 <math>z_0</math>이 Γ 내부의 임의의 점이라면,
 :<math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}dz</math>
-이다. 더욱이 $f$의 $n$계도함수는
+이다. 더욱이 ''f''의 ''n''계도함수는
 :<math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz</math>
 로 나타낼 수 있다.
 == 증명 ==
-$\dfrac{f(z)}{z-z_0}$는 $z_0$을 제외한 $D$ 위의 모든 점에서 해석적이다. 따라서 $\Gamma$는 양의 방향을 가지는 원 $C_r : |z-z_0|=r$로 [[연속적 변형]]이 가능하다. 따라서
+<math>\dfrac{f(z)}{z-z_0}</math>는 <math>z_0</math>을 제외한 ''D'' 위의 모든 점에서 해석적이다. 따라서 Γ는 양의 방향을 가지는 원 <math>C_r : |z-z_0|=r</math>로 [[연속적 변형]]이 가능하다. 따라서
 :<math> \int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\int_{C_r} \frac{f(z)}{z-z_0}dz</math>
 이다. 이때
 :<math>\int_{C_r} \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\int_{C_r} \frac{f(z_0)}{z-z_0}dz+\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz</math>
-이고, $\displaystyle \int_{C_r} \frac{f(z_0)}{z-z_0}dz =f(z_0)2\pi i$이므로,
+이고, <math>\displaystyle \int_{C_r} \frac{f(z_0)}{z-z_0}dz =f(z_0)2\pi i</math>이므로,
 :<math>\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}dz = f(z_0)2\pi i + \int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz</math>
-이다. $M_r=\max\{|f(z)-f(z_0)| : z\; \mathrm{on}\; C_r\}$이라 하자. 그러면
+이다. <math>M_r=\max\{|f(z)-f(z_0)| : z\; \mathrm{on}\; C_r\}</math>이라 하자. 그러면
 :<math>\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\right|\le \frac{M_r}{r}</math>
 이므로
 :<math>\left|\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz\right|\le 2\pi r \cdot \frac{M_r}{r} = 2\pi M_r</math>
-이다. $f$는 $z_0$에서 연속이므로, $r\to 0$일 때 $M_r \to 0$이다. 따라서
+이다. ''f''는 <math>z_0</math>에서 연속이므로, <math>r\to 0</math>일 때 <math>M_r \to 0</math>이다. 따라서
 :<math>\lim_{r\to +0}\int_{C_r} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz=0</math>
 이고, 원하는 결론을 얻는다.
 == 예시 ==
-$C$를 양의 방향으로 한 번 가로지르는 원 $|z|=2$라고 할 때, $\displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz$의 값을 구하자.
+''C''를 양의 방향으로 한 번 가로지르는 원 <math>|z|=2</math>라고 할 때, <math>\displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz</math>의 값을 구하자.
-$f(z)=\dfrac{\sin z}{z-4}$로 정의하면, $\displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz=\int_C \frac{f(z)}{z^2}dz$이고 $f'(z)=\dfrac{(z-4)\cos z-\sin z}{(z-4)^2}$이다.
+<math>f(z)=\dfrac{\sin z}{z-4}</math>로 정의하면, <math>\displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz=\int_C \frac{f(z)}{z^2}dz</math>이고 <math>f'(z)=\dfrac{(z-4)\cos z-\sin z}{(z-4)^2}</math>이다.
-따라서 $\displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz=\int_C \frac{f(z)}{z^2}dz=f'(0)2\pi i=-\dfrac{\pi i}{2}$를 얻는다.
+따라서 <math>\displaystyle \int_C \frac{\sin z}{z^2(z-4)}dz=\int_C \frac{f(z)}{z^2}dz=f'(0)2\pi i=-\dfrac{\pi i}{2}</math>를 얻는다.
 == 같이 보기 ==