로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!{{인용문|No one will drive us from the '''paradise''' which Cantor created for us.|David Hilbert (1926)}} '''집합론'''(集合論, {{영어|Set theory}})은 [[집합]]과 집합에 관련된 것들을 다루는 [[학문]]이다. [[게오르크 칸토어]]가 그 기틀을 세웠다. 칸토어가 처음 고안한 집합론을 [[소박한 집합론]](naive set theory)이라고 한다. 중/고등학교에서 배우는 집합과 관련된 것들은 모두 이 소박한 집합론을 기본으로 한다. 이 집합론은 너무나 소박해서(?) 자연 언어로 정의되어 있다. 즉, 형식적인 논리로 정의되지 않았다는 것이다. [[집합]]은 그냥 적절한 (잘 정의된) [[대상]]들의 [[모임 (수학)|모임]]<ref>참고로 이 모임은 그냥 모여있는 것(collection)이며 집합론의 다른 개념(class)을 뜻하는 것은 아니다. 물론 집합은 모임(class)이다.</ref>으로 정의되고, 원소는 그런 대상이다. 공집합은 왜인지는 모르겠지만 어쨌든 [[존재 공리|존재]]하며, 무한집합 역시 [[무한 공리|존재]]한다. 왜냐하면, 당연히 존재할 것 같으니. <!-- 프레게 관련 내용을 잘 알고 계신 분은 채워주시길 바랍니다. --> 하지만 칸토어와 [[고틀로프 프레게]]의 체계는 결정적으로 단 하나의 역설에 의하여 무너지고 만다. 이것이 바로 [[러셀의 역설]]. 즉, 모든 집합을 모은 집합이 존재한다면 그 체계는 모순을 내포한다는 것이다. 이로써 소박한 집합론이 모순이 있다는 것을 알고, [[버트런드 러셀]]은 [[공리적 집합론]]을 주장한다. 집합을 정의함에 있어 공리계가 있어야 한다는 것이다. 가장 유명(?)한 공리적 집합론 체계는 [[ZF]](또는 [[ZFC]]<ref>ZF에 선택공리(AC)를 추가한 것이다.</ref>). 이렇게 집합을 가지고 노는 학문이 바로 집합론이다. 후술하는 것들은 집합론에서 다루는 몇 가지 개념들이다. == 개요 == {{안내문|이하의 내용은 《''A Transition to Advanced Mathematics''》(Douglas Smith, Maurice Eggen, Richard St. Andre 저)에서 상당수를 참조했습니다.}} === 논리와 증명 === 대부분의 집합이 [[조건제시법]]([[술어]])으로 서술되므로, 조건에 부합하는지 아닌지를 아는 것이 매우 당연하며 중요하다. 명제논리와 술어논리, 참과 거짓을 판단하는 방법을 배우며, 기초적인 기호들을 익힌다. 여기서 간략하게나마 논리에 쓰이는 기호들을 설명하자면, * <math>\forall x</math>: 모든(임의의) <math> x</math>에 대하여, * <math>\exists x</math>: <math> x</math>가 존재하여, 어떤 <math> x</math>에 대하여, * <math>\exists !x</math>: <math> x</math>가 유일하게 존재하여, * <math>\neg P</math> 또는 <math> \sim P</math>: P의 [[부정]], * <math>p\lor q</math> : p 또는 q, * <math>p\land q</math> : p 그리고 q 등이 있다. <!-- === 집합론 === 집합간의 연산(교집합이나, 합집합 같은 것들), 첨수족(indexed families of sets)<ref>아래 첨자를 달아서 쓰는 집합들을 모아놓은 집합인데(<math>X=\left\{ A_{\alpha} | \alpha \in S \right \}</math>) 직관적으로는 집합들에 번호를부여한 것으로 보면 된다. 단, 번호를 부여했다해서, S가 자연수보다 작거나 자연수 정도로 생각할 수 있는데, S는 모든 집합에 대해서 다 가능하다.</ref> 자연수 등 집합 자체의 전반적인 것을 다룬다.<s>그리고 [[공집합]]에서 뭘 뽑아다 썼더니 전체집합이라는 것에서 다들 [[멘붕|정신이 날아가겠지.]]</s><ref><math>\bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = U</math>를 말하는 것인데, 증명은 다음과 같다. <math>\bigcap_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = U </math><math> \iff ( x\in U \rightarrow \forall \alpha. \ x\in A_{\alpha \in \emptyset} ) </math><math> \iff ( x\in U \rightarrow ( \alpha \in \emptyset \rightarrow x\in A_{\alpha} ) )</math>인데, <math>\alpha \in \emptyset</math>가 항상 거짓이기 때문에 <math>\alpha \in \emptyset \rightarrow x\in A_{\alpha}</math>는 항상 참이다. 따라서 (참)<math>\rightarrow</math>(참) 이므로, 항상 참이다.</ref> --> === 관계 === {{참고|관계}} 직관적으로 말하면 함수보다 더 일반화된 개념이다. 예를 들어, (한국, 홍길동), (한국, 김철수), (미국, Bob), (미국, John)같은 것은 각 나라에 대해 거주민을 대응시키는 것으로 볼 수 있다. 이런 것들을 관계라고 한다. 관계를 정의한 후 더 쓸모있는 관계들을 만든다. 대표적인 것들을 몇 개 추려보자면, * 동치관계 **반사성, 대칭성, 추이성을 만족하는 관계다. <math>a=a</math>(반사성), <math>a=b\rightarrow b=a</math>(대칭성), <math>a=b \land a=c\rightarrow\ a=c</math>(추이성) 등호를 생각하면 쉽게 외워진다. * 반순서관계<ref>부분 순서 관계라고도 한다. 임의의 두 원소의 비교가능성이 항상 보장되지 않으므로 이렇게 부른다.</ref> **반사성, 반대칭성, 추이성을 만족하는 관계다. <math>a\le a</math>(반사성), <math>a\le b \land b\le a \rightarrow a=b</math>(반대칭성), <math>a\le b \land b\le c\rightarrow a\le c</math>(추이성) 부등호를 생각하면 쉽게 외워진다. ** 전순서관계 *** 완전성을 만족하는 반순서관계이다. 이 때 완전성이 반사성을 내포하므로 반대칭성, 추이성, 완전성을 만족하는 관계라고 하기도 한다. <math>a\le b \land b\le a \rightarrow a=b</math>(반대칭성), <math>a\le b \land b\le c\rightarrow a\le c</math>(추이성) <math>a\le b \lor b\le a</math>(완전성) 등이 있다. === 함수 === {{참고|함수}} 함수는 관계의 특별한 종류 중 하나다. 함수가 갖는 큰 특징은 관계는 정의역에 대응하는 치역이 여러 개일 수 있지만, (위의 예에 있는 (한국, 홍길동), (한국, 김철수)처럼) 함수는 정의역의 각 원소에 대해 절대 두 개 이상이 대응되지 않는다. 즉, 우리가 잘 아는 그 함수가 되어 좋은 성질들을 가지게 된다. === 농도(cardinality) === {{참고|농도 (수학)}} 집합의 크기라고도 한다. 농도는 직관적으로 집합이 얼마나 많은 원소를 가지고 있는지를 보여주는 척도다. 집합 <math>A</math>의 농도는 절대값 표기와 같이 <math>|A|</math>로 표기한다. 절대값과 표기가 똑같아서 종종 <math>\operatorname{card}(A)</math>...등등의 다른 표현을 사용해 혼동을 피하기도 한다. 집합 <math>A</math>가 집합 <math>B</math>보다 농도가 크다는 얘기를 할 수 있다. 농도가 곧 원소가 얼마나 많은가라서 집합 <math>A</math>와 집합 <math>B</math>의 원소를 짝지었더니 <math>A</math>쪽 원소가 남으면 <math>A</math>의 농도가 작지 않다. 원소를 비교하는 것은 함수를 통해 할 수 있다. 그래서 단사함수 <math>f : A \rightarrow B</math>가 존재하면 <math>|A| \leq |B|</math>라고 정의한다. [[선택공리]]를 받아들인다면, 두 집합의 농도를 항상 비교할 수 있다. 두 집합 <math>A, B</math>에 대해, <math>|A|<|B|, |A|=|B|, |A|>|B|</math>중 하나를 만족한다. ==== 유한집합, 무한집합 ==== 무한집합의 예로 [[자연수]] 집합을 들 수 있다. 자연수에서 자연수로 가는 함수 중에서, <math>f(n) = n+1</math>를 생각해 보자. 이 함수는 단사인데, 이 함수의 상(image)는 2 이상의 자연수로, 자연수의 진부분집합이다. 또 다른 예는 <math>f(n) = 2*n</math>. 이 함수의 상은 짝수인 자연수이다. 이로부터 무한집합을 정의할 만한 아이디어를 얻을 수 있다. 어떤 집합 <math>X</math>가 어떤 진부분집합 <math>Y</math>과 [[일대일 함수]]가 존재하면 <math>X</math>는 무한이라고 한다. [[자연수]]집합은 무한집합이 된다. ==== 가산집합, 비가산집합 ==== {{참고|가산집합|비가산집합}} 가산집합은 말 그대로 셀 수 있으면 가산집합이다. 하나, 둘... 하고 모든 원소를 셀 수 있으면 된다. 만약 세다가 더이상 셀 원소가 없다면 유한집합이고, 멈추지 않고 계속 세야 한다면, 가산무한집합이 된다. 제대로 된 정의는, 어떤 집합 <math>X</math>에서 자연수 <math>\mathbb{N}</math>로의 단사함수가 존재하면 가산집합이라 하고, 그렇지 않으면 비가산집합이다. 당연히 유한집합은 가산집합이다. 특히 앞의 논리에 의해 어떤 집합<math>X</math>은 <math>|X|<|\mathbb{N}|</math>이거나 <math>|X|=|\mathbb{N}|</math>이거나 <math>|X|>|\mathbb{N}|</math>인데 이런 집합을 차례대로, 유한집합, 가산무한집합, 비가산집합이다. 자연수<math>\mathbb{N}</math>, 정수<math>\mathbb{Z}</math>, 유리수<math>\mathbb{Q}</math> 집합은 가산집합인 반면, 실수<math>\mathbb{R}</math>는 불가산집합이다. 실수집합이 불가산집합인 것은 칸토어의 대각선 논법에 의해 보일 수 있다. 또한 이 대각선 논법을 이용하면 어떤 집합의 멱급수의 농도는 그 집합의 농도보다 항상 크다는 것도 보일 수 있다. ==== 농도의 연산 ==== 서로소인 두 집합 <math>A</math>와 <math>B</math>가 있을 때, 농도의 합은 두 집합의 합집합의 농도이다. <math>a = |A|, b = |B|</math>일 때, <math>a+b = |A \cup B|</math>인 것이다. 예로, <math>\aleph_0+\aleph_0 = \aleph_0</math> . <ref>짝수 집합과 홀수 집합의 농도는 <math>\aleph_0</math>이고, 저 두 집합의 합인 자연수 집합의 농도도 <math>\aleph_0</math>이다.</ref> 곱셈의 경우는 서로소일 필요는 없고 곱집합의 농도이다. 즉, <math>ab = |A \times B|</math>이다. <math>\aleph_0 \aleph_0 = \aleph_0</math><ref>\mathbb{N}\times\mathbb{N}와 \mathbb{N} 사이에 일대일대응 함수를 만들 수 있다.</ref> <del>더해도 곱해도 같은게 나오는 신기한 세계</del> <math>B</math>에서 <math>A</math>로 가는 함수들의 집합의 농도를 <math>a^b</math>로 표시한다. 특별히 <math>2^b</math>는 농도가 <math>b</math>인 집합<math>B</math>의 멱집합의 농도와 같다. === 순서수(Ordinal Numbers) === {{참고|서수}} ==== 정의 ==== 앞의 기수는 한 개, 두 개……라면, 순서수는 첫 번째, 두 번째……와 같은 것이다. "영 번째"는 공집합, "첫 번째"는 원소가 1개 있는 집합들 등등 이런 식이다. 만약 집합의 [[원소]] 개수가 유한하다면, 기수나 순서수나 똑같다. 그런데 무한이라면? 기수와 순서수는 전혀 다른 이야기가 된다. 순서수에 대해 고려하기 위해서는 단순히 집합만 고려하면 안되고 정렬집합이 필요하다. 즉, 완전순서<ref>모든 두 원소가 대소비교가 가능한 부분순서</ref>가 있어야 하고, 이 완전순서가 모든 공집합이 아닌 부분집합에 대해 극소원소가 있어야 한다. 표시는 집합 <math>A</math>와 정렬 <math>\le_A</math>에 대해 <math>(A,\le_A)</math>라고 표시한다. 순서수는 <math>\operatorname{ord}(A, \le_A)</math>로 표시한다. 우리가 다 아는 그 대소 관계에 따른 자연수<math>(\mathbb{N}, \le)</math>집합의 순서수는 특별히 오메가 <math>\omega</math>라고 표시한다. <math>\omega =\operatorname{ord}(\mathbb{N}, \le)</math> 완전순서가 필요한 이유는 순서를 어떻게 정하냐에 따라 순서수가 또 달라질 수 있다. 익숙한 대소 관계에서는 0이 가장 작은 자연수지만, 제가 새로 만든 대소 관계에서는 "0이 가장 큰 수고 나머진 똑같아요!" 하면, 즉, <math>1 \le' 2 \le' ... \le' n \le' ... \le' 0</math>라고 하면 <math>\omega</math>와 순서수가 달라진다. ==== 덧셈 ==== 순서수끼리 덧셈이 가능하다. 교집합이 공집합인 두 정렬집합 <math>(A,\le_A)</math>와 <math>(B,\le_B)</math>이 있다고 하자. 합집합 <math>(A \cup B, \le_{ab}) </math>에 대해 * <math>x, y \in A</math>일 때 <math>x \le_{ab} y \iff x \le_A y</math>이고, * <math>x, y \in B</math>일 때 <math>x \le_{ab} y \iff x \le_B y</math>이고, * <math>x \in A, y \in B</math>이면, <math>x \le_{ab} y</math>(즉 모든 <math>B</math>의 원소는 모든 <math>A</math>의 원소보다 크다) 이 세 가지 조건을 만족할 때, <math>\operatorname{ord} ( A \cup B, \le_{ab} )</math> <math>=\operatorname{ord}(A,\le_A)+\operatorname{ord}(B,\le_B)</math>라고 표기한다. 그냥 <math>B</math>를 <math>A</math> 뒤에 갖다 붙인 거라고 생각하면 된다. 놀랍게도... 이 덧셈은 교환법칙이 성립하지 않는다. {{ㅊ|뭐요? 덧셈이 덧셈이 아니야}} <math>1+\omega = \omega</math><ref>간단히 수식을 설명하면, 0보다 더 작은 원소 하나를 더 추가해도 순서수는 바뀌지 않는다.</ref>이지만, <math>\omega + 1 \neq \omega</math>이다. <math>\omega + 1 </math>는 앞에서 예로 든 0이 가장 큰 수고 나머진 똑같은 그 정렬집합의 순서수이다. ==== 곱셈 ==== 곱셈도 가능하다. 두 정렬집합 <math>(A, \le_A), (B, \le_B)</math>이 있을 때, <math>(A \times B, \le_{ab})</math>에 대해 * <math>(x, u) \le_{ab} (y, v) \iff x \le_A y \lor (x = y \land u \le_B v)</math>일 때, <math>\operatorname{ord}(A \times B, \le_{ab}) = \operatorname{ord}(A, \le_A) \times \operatorname{ord}(B, \le_B)</math>이다. 쉽게 직관적으론 사전정렬을 생각하면 된다. 이 곱셈 역시 교환법칙이 성립하지 않는데, 예로, <math>2 \omega = \omega</math>인데, <math> \omega 2 \neq \omega</math>이다. == 응용 == [[추가바람]] == 같이 읽을 거리 == * [[추상대수학]] * [[연속체 가설]] * [[이산수학]] * [[선택공리|선택 공리]] * [[ZFC공리계]] * [[위상수학]] 이 외에도 [[추가바람]] {{각주}} [[분류:집합론| ]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:안내문 (원본 보기) (준보호됨)틀:영어 (원본 보기) (준보호됨)틀:영어= (원본 보기) (준보호됨)틀:인용문 (원본 보기) (준보호됨)틀:참고 (원본 보기) (준보호됨)틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)이 문서는 다음의 숨은 분류 1개에 속해 있습니다: 분류:영어 표기를 포함한 문서