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{{학술 관련 정보}} | |||
==개요== | |||
우리가 일상적으로 세는 숫자 1,2,3, .... 들의 성질을 연구하는 [[수학]]의 학문. 세상에서 제일 멋있는데 제일 쓸데없이 보이는 분야.<ref> 쓸데가 아주 없는 것은 아니다! [[컴퓨터]]가 발달하면서 암호체계 (RSA, 타원곡선암호 등)를 만드는 데에 쓰이기도 한다. 하지만 대부분의 현대정수론은 여전히 쓸데가 없다.</ref> 보통 다항식의 정수해를 찾거나 소수의 다양한 성질들을 연구하며, 혹은 이것을 위해 개발된 수많은 추상도구들의 연구 그 자체를 정수론이라고 하기도 한다. | 우리가 일상적으로 세는 숫자 1,2,3, .... 들의 성질을 연구하는 [[수학]]의 학문. 세상에서 제일 멋있는데 제일 쓸데없이 보이는 분야.<ref> 쓸데가 아주 없는 것은 아니다! [[컴퓨터]]가 발달하면서 암호체계 (RSA, 타원곡선암호 등)를 만드는 데에 쓰이기도 한다. 하지만 대부분의 현대정수론은 여전히 쓸데가 없다.</ref> 보통 다항식의 정수해를 찾거나 소수의 다양한 성질들을 연구하며, 혹은 이것을 위해 개발된 수많은 추상도구들의 연구 그 자체를 정수론이라고 하기도 한다. | ||
==중심적 문제들== | ==중심적 문제들== | ||
다른 분야처럼 정수론도 몇 가지 문제들을 중심으로 발전해왔다. 보통은 ''다항식의 정수해를 찾는 것''과 ''소수의 성질을 탐구하는 것''을 중심으로 주류 정수론이 발전해왔으며, 위에서 설명했듯이 그에 의해서 생겨난 (혹은 견해에 따라서, "발견된") 추상적 오브젝트들 ([[타원곡선]], [[ | 다른 분야처럼 정수론도 몇 가지 문제들을 중심으로 발전해왔다. 보통은 ''다항식의 정수해를 찾는 것''과 ''소수의 성질을 탐구하는 것''을 중심으로 주류 정수론이 발전해왔으며, 위에서 설명했듯이 그에 의해서 생겨난 (혹은 견해에 따라서, "발견된") 추상적 오브젝트들 ([[타원곡선]], [[모듈라 형식]], [[보형형식]], [[l진 코호몰로지]], [[제타 함수]], [[갈루아 표현]] 등등도 학계에선 정수론의 연구로 고려된다. 단순히 숫자 1,2,3,...에 대해 새로운 결과를 알고 싶다 하더라도 대부분의 경우, 추상적 오브젝트들을 통하지 않고는 알기 힘든 경우가 많다. 그 대표적인 예가 바로 [[페르마의 마지막 정리]]. | ||
이상에서 표현한 몇 가지 문제들을 잡고 씨름하는 것만 "정수에 대한 탐구"로 볼 필요는 없지만, 학계의 주류 흐름은 그 몇 가지 문제를 중심으로 움직여왔다. 다른 다양한 문제들에 대한 접근이 부족한 것은 역시 안타깝다. 하지만 주류분야를 자세히 들여다보면 들여다볼수록 그 추상적인 깊이와 아름다움에 매료될 수밖에 없다! (<s>진정으로 그맛을 알려면 도닦듯이 대학원 입학부터 수년간 다양한 분야들에 대한 머리깨지는 공부가 진행되어야 한다는 것은 어쩔 수 없는 사실이다.</s>) | 이상에서 표현한 몇 가지 문제들을 잡고 씨름하는 것만 "정수에 대한 탐구"로 볼 필요는 없지만, 학계의 주류 흐름은 그 몇 가지 문제를 중심으로 움직여왔다. 다른 다양한 문제들에 대한 접근이 부족한 것은 역시 안타깝다. 하지만 주류분야를 자세히 들여다보면 들여다볼수록 그 추상적인 깊이와 아름다움에 매료될 수밖에 없다! (<s>진정으로 그맛을 알려면 도닦듯이 대학원 입학부터 수년간 다양한 분야들에 대한 머리깨지는 공부가 진행되어야 한다는 것은 어쩔 수 없는 사실이다.</s>) | ||
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====페르마의 마지막 추측: 컴머와 데데킨트의 이론==== | ====페르마의 마지막 추측: 컴머와 데데킨트의 이론==== | ||
에드워드 컴머라는 수학자는 Prime ideal들을 처음으로 정의하고, 이것을 활용하여 특수경우 ("regular prime")에 대해서 페르마의 마지막 추측을 풀었다. 특수한 집합에서는 소인수분해가 유일하게 결정되지 않기 때문에 특정 조건들을 만족하는 집합들을 "이상적인 수" (ideal number / ideal)으로 정의하고, ideal number들의 곱을 정의하고 이것을 철저하게 분석함으로써 가능해진 결과였다. | |||
====[[베유 가설]]==== | ====[[베유 가설]]==== | ||
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"<math>x^n+y^n=z^n</math>의 정수해가 존재할까? 단, 셋중 아무것도 0은 아니어야 하고 <math>n>2</math>이다." | "<math>x^n+y^n=z^n</math>의 정수해가 존재할까? 단, 셋중 아무것도 0은 아니어야 하고 <math>n>2</math>이다." | ||
[[ | [[모듈라 형식]]과 [[그로텐디크]]의 대수기하 이론 등을 통해 앤드류 와일즈 (+Taylor)는 페르마의 마지막 추측을 풀게 된다. 증명의 기초적인 아이디어는 | ||
''[[페르마의 마지막 정리]]가 거짓이라면 [[ | ''[[페르마의 마지막 정리]]가 거짓이라면 [[모듈러리티 가설]]이 거짓이다'' | ||
라는 것을 보이는 것인데, 이걸 다르게 얘기하면 모듈러리티 가설이 참이면 페르마의 마지막 정리도 참이라는 것이다. 따라서 지금까지 알려진 유일한 페르마의 마지막 정리의 증명은 두 가지 단계로 나눠지게 된다. | 라는 것을 보이는 것인데, 이걸 다르게 얘기하면 모듈러리티 가설이 참이면 페르마의 마지막 정리도 참이라는 것이다. 따라서 지금까지 알려진 유일한 페르마의 마지막 정리의 증명은 두 가지 단계로 나눠지게 된다. | ||
1. | 1. 모듈러리티 가설이 참이라면 페르마의 마지막 정리도 참이다. | ||
2. | 2. 모듈러리티 가설은 참이다. | ||
1번은 | 1번은 Frey에 의해 제안되었다. 1번을 더 정확히 말하면 다음과 같다. ''n''을 홀수인 소수라고 가정하고 <math>x^n+y^n=z^n </math>이라는 방정식을 어떤 타원곡선으로 표현함으로써 Frey는 아이디어를 얻었고, 이를 통해서 <math> a^n+b^n = c^n</math>인 <math>(a,b,c)</math>가 존재한다면, 즉 페르마의 마지막 정리가 거짓이라면, Frey는 위의 타원곡선에 대응되는 [[모듈러 형식]]이 없을 것이라는 추측을 낸 것이다. Frey가 이 가설을 낸 뒤 얼마 후, 1번의 추측은 "엡실론 가설" 외에는 모든 부분이 증명이 된다. "엡실론 가설"은 켄 리벳이라는 수학자가 풀게 되어서 1번의 풀이가 완성된다. | ||
2번의 풀이는 많은 수학자들이 한참 후에야 가능할 것이라고 믿었던 것인데, | 2번의 풀이는 많은 수학자들이 한참 후에야 가능할 것이라고 믿었던 것인데, 앤드류 와일즈가 2번을 증명했다. 와일즈는 semistable한 타원곡선에 대해서만 증명을 했는데 이것은 페르마의 마지막 정리를 참이라고 증명하는 데에 충분했다. | ||
====Mordell의 정리와 Faltings의 정리, 그리고 BSD 가설==== | ====Mordell의 정리와 Faltings의 정리, 그리고 BSD 가설==== | ||
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====100만보다 작은 소수는 대충 몇 개일까?==== | ====100만보다 작은 소수는 대충 몇 개일까?==== | ||
소수는 참으로 정의하기 쉽지만 참으로 기묘한 성질들을 많이 가지고 있는 대상이다. 어떤 수가 소수인지 판별하는 건 쉽지 않으며, 수를 소인수분해하는 것도 정말 어렵다! ([[RSA]] | 소수는 참으로 정의하기 쉽지만 참으로 기묘한 성질들을 많이 가지고 있는 대상이다. 어떤 수가 소수인지 판별하는 건 쉽지 않으며, 수를 소인수분해하는 것도 정말 어렵다! ([[RSA 암호체계]]의 원리가 소인수분해의 어려움이다) 하지만 예를 들어서, 100만보다 작은 소수의 개수는 대충 몇 개인가? 라는 질문에 대해서는 대충 78626개이다!라고 수학자들은 자신있게 답할 수 있다. 왜 이것이 가능할까? 유명한 [[소수 정리]]라는 결과 덕분이다. 이 결과는 <math>x</math>보다 작은 소수는 약 <math>\frac{x}{\log x}</math>개, 그리고 보다 비슷하게 <math>Li(x)=\int_2^\infty \frac{1}{\log x} dx</math> 라는 것을 말해준다. (정확한 주장은 이 근사치와 실제 개수의 비율이 1로 수렴한다는 것이다.) | ||
그렇다면 오차는 얼마나 될까? 대충 <math>x</math>의 제곱근 곱하기 <math>\log x</math>쯤 된다는 것이 유명한 [[리만 가설]]과 동치이다. 이것을 풀기 위해 수많은 수학자들이 쓰러져 갔다. 리만 가설은 리만 제타 함수를 사용하여 나타낼 수도 있으며, 리만 제타 함수는 덕택에 수많은 변종을 낳게 된다. (데데킨트 제타함수, 아틴 제타함수, 하세-베유 제타함수, L-function associated with automorphic forms, etc.) | 그렇다면 오차는 얼마나 될까? 대충 <math>x</math>의 제곱근 곱하기 <math>\log x</math>쯤 된다는 것이 유명한 [[리만 가설]]과 동치이다. 이것을 풀기 위해 수많은 수학자들이 쓰러져 갔다. 리만 가설은 리만 제타 함수를 사용하여 나타낼 수도 있으며, 리만 제타 함수는 덕택에 수많은 변종을 낳게 된다. (데데킨트 제타함수, 아틴 제타함수, 하세-베유 제타함수, L-function associated with automorphic forms, etc.) | ||
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====모든 짝수를 소수 두 개의 합으로 쓸 수 있을까?==== | ====모든 짝수를 소수 두 개의 합으로 쓸 수 있을까?==== | ||
아무도 모른다. 이게 바로 유명한 | 아무도 모른다. 이게 바로 유명한 골드바흐의 추측. 더 쉬운 문제는 [[2013년]] 즈음 풀렸다. 이름하여 [https://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach%27s_weak_conjecture "약한 골드바흐 추측"]. 물론 원조 골드바흐 추측을 풀면 약한 추측도 같이 풀린다. (홀수 = 짝수+3 이므로) | ||
== 주요 정리들 == | == 주요 정리들 == | ||
나머지 정리 | |||
페르마의 소정리 | 페르마의 소정리 | ||
[[작성중]] | [[작성중]] | ||
[[분류:수학]] | |||
[[분류: | |||