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[[군 (수학)|군]] ''G''의 부분군을 ''N''이라고 하자. 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 | [[군 (수학)|군]] ''G''의 부분군을 ''N''이라고 하자. 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 | ||
: <math>gN=Ng</math> | : <math>gN=Ng</math> | ||
면 ''N''을 ''G''의 '''정규부분군(Normal subgroup)'''이라 한다. 이때 <math>gN,Ng</math>는 각각 ''N''의 좌잉여류(left coset)와 우잉여류(right coset)를 나타낸다. | 면 ''N''을 ''G''의 '''정규부분군(Normal subgroup)'''이라 한다. 이때 <math>gN,Ng</math>는 각각 ''N''의 좌잉여류(left coset)와 우잉여류(right coset)를 나타낸다. 이 정의는 절대 임의의 <math>n\in N</math>에 대해서 <math>gn=ng</math>임을 뜻하는 것이 아니다! | ||
다음 [[명제]]는 서로 동치다. | 다음 [[명제]]는 서로 동치다. | ||
* ''N''은 ''G''의 정규부분군이다. | * ''N''은 ''G''의 정규부분군이다. | ||
* <math>g^{-1}Na=\{g^{-1}ng\vert n\in N\}</math>으로 정의하면, 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 <math>a^{-1}Na\subseteq N</math>이다. | * <math>g^{-1}Na=\{g^{-1}ng\vert n\in N\}</math>으로 정의하면, 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 <math>a^{-1}Na\subseteq N</math>이다. | ||
* <math>gNg^{-1}=\{gng | * <math>gNg^{-1}=\{gng^{-1}\vert n\in N\}</math>으로 정의하면, 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 <math>aNa^{-1}\subseteq N</math>이다. | ||
* 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 <math>g^{-1}Ng= N</math>이다. | * 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 <math>g^{-1}Ng= N</math>이다. | ||
* 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 <math>gNg^{-1}= N</math>이다. | * 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 <math>gNg^{-1}= N</math>이다. | ||
== 성질 == | |||
* ''N''과 ''K''가 ''G''의 정규부분군이면, <math>N\cap K</math>는 ''G''의 정규부분군이다. | |||
* ''N''과 ''K''가 ''G''의 정규부분군이면, 집합 <math>NK=\{nk\vert n\in N, k\in K\}</math>는 ''G''의 정규부분군이다. | |||
* ''N''이 [[부분군의 지표|지표]] 2인 ''G''의 부분군이면, ''N''은 ''G''의 정규부분군이다. | |||
* 함수 <math>f:G\to H</math>가 군 준동형사상이라고 하자. 그러면 ''H''의 [[핵 (수학)|핵]] <math>\ker H</math>는 ''G''의 정규부분군이다. | |||
== 같이 보기 == | == 같이 보기 == | ||
2015년 6월 8일 (월) 14:44 판
정의
군 G의 부분군을 N이라고 하자. 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ gN=Ng }[/math]
면 N을 G의 정규부분군(Normal subgroup)이라 한다. 이때 [math]\displaystyle{ gN,Ng }[/math]는 각각 N의 좌잉여류(left coset)와 우잉여류(right coset)를 나타낸다. 이 정의는 절대 임의의 [math]\displaystyle{ n\in N }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ gn=ng }[/math]임을 뜻하는 것이 아니다!
다음 명제는 서로 동치다.
- N은 G의 정규부분군이다.
- [math]\displaystyle{ g^{-1}Na=\{g^{-1}ng\vert n\in N\} }[/math]으로 정의하면, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a^{-1}Na\subseteq N }[/math]이다.
- [math]\displaystyle{ gNg^{-1}=\{gng^{-1}\vert n\in N\} }[/math]으로 정의하면, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ aNa^{-1}\subseteq N }[/math]이다.
- 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g^{-1}Ng= N }[/math]이다.
- 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ gNg^{-1}= N }[/math]이다.
성질
- N과 K가 G의 정규부분군이면, [math]\displaystyle{ N\cap K }[/math]는 G의 정규부분군이다.
- N과 K가 G의 정규부분군이면, 집합 [math]\displaystyle{ NK=\{nk\vert n\in N, k\in K\} }[/math]는 G의 정규부분군이다.
- N이 지표 2인 G의 부분군이면, N은 G의 정규부분군이다.
- 함수 [math]\displaystyle{ f:G\to H }[/math]가 군 준동형사상이라고 하자. 그러면 H의 핵 [math]\displaystyle{ \ker H }[/math]는 G의 정규부분군이다.