적분표

적분표(Table of integrals)는 자주 쓰이는 부정적분 또는 특이적분을 모은 표를 뜻한다. 자연계열 전공이라면 몇 개는 필수적으로 외우자. 자세한 증명 과정은 생략한다. 적분상수도 생략한다.

부정적분

다항함수

피적분함수	결과
[math]\displaystyle{ x^n }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{n+1}x^{n+1} }[/math]

유리함수

피적분함수	결과
[math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ln |x| }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \arctan x }[/math]

무리함수

피적분함수	결과
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}| }[/math]
[math]\displaystyle{ \sqrt{a^2-x^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) }[/math]

삼각함수

피적분함수	결과
[math]\displaystyle{ \sin x }[/math]	[math]\displaystyle{ -\cos x }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos x }[/math]	[math]\displaystyle{ \sin x }[/math]
[math]\displaystyle{ \tan x }[/math]	[math]\displaystyle{ -\ln|\cos x| }[/math]
[math]\displaystyle{ \csc x }[/math]	[math]\displaystyle{ -\ln|\cot x+\csc x| }[/math]
[math]\displaystyle{ \sec x }[/math]	[math]\displaystyle{ \ln|\tan x+\sec x| }[/math]
[math]\displaystyle{ \cot x }[/math]	[math]\displaystyle{ \ln|\sin x| }[/math]
[math]\displaystyle{ \sec^2 x }[/math]	[math]\displaystyle{ \tan x }[/math]
[math]\displaystyle{ \csc^2 x }[/math]	[math]\displaystyle{ -\cot x }[/math]
[math]\displaystyle{ \sec x \tan x }[/math]	[math]\displaystyle{ \sec x }[/math]
[math]\displaystyle{ \csc x \cot x }[/math]	[math]\displaystyle{ -\csc x }[/math]

역삼각함수

피적분함수	결과
[math]\displaystyle{ \arcsin x }[/math]	[math]\displaystyle{ x\arcsin x +\sqrt{1-x^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \arctan x }[/math]	[math]\displaystyle{ x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2) }[/math]

지수함수

피적분함수	결과
[math]\displaystyle{ e^x }[/math]	[math]\displaystyle{ e^x }[/math]
[math]\displaystyle{ e^{-x^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x) }[/math]
[math]\displaystyle{ \sinh x }[/math]	[math]\displaystyle{ \cosh x }[/math]
[math]\displaystyle{ \cosh x }[/math]	[math]\displaystyle{ \sinh x }[/math]

로그함수

피적분함수	결과
[math]\displaystyle{ \ln x }[/math]	[math]\displaystyle{ x\ln x -x }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{x\ln x} }[/math]	[math]\displaystyle{ \ln|\ln x| }[/math]
[math]\displaystyle{ x^n\ln x }[/math]	[math]\displaystyle{ x^{n+1}\left(\frac{\ln x}{n+1}-\frac{1}{(n+1)^2} \right) }[/math]

정적분

정적분	값
[math]\displaystyle{ \int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_0^{\infty}\frac{1-\cos x}{x^2}dx }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_0^{\infty}x^{n-1}e^{-x}dx }[/math]	[math]\displaystyle{ (n-1)! }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_0^{\frac{1}{3}}\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}dx }[/math]	약 0.327471