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적분표: 두 판 사이의 차이

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{{학술 관련 정보}}
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'''적분표(Table of integrals)'''는 자주 쓰이는 [[부정적분]] 또는 [[특이적분]]을 모은 표를 뜻한다. 자연계열 전공이라면 몇 개는 필수적으로 외우자. [[더 이상의 자세한 설명은 생략한다|자세한 증명 과정은 생략한다]]. 적분상수도 생략한다.
'''적분표(Table of integrals)'''는 자주 쓰이는 [[부정적분]] 또는 [[특이적분]]을 모은 표를 뜻한다. 자연계열 전공이라면 몇 개는 필수적으로 외우자. [[더 이상의 자세한 설명은 생략한다|자세한 증명 과정은 생략한다]]. 적분상수도 생략한다.


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| <math>\csc x \cot x</math>
| <math>\csc x \cot x</math>
| <math>-\csc x</math>
| <math>-\csc x</math>
|}
=== 역삼각함수 ===
{| class="wikitable" width="100%"
! 피적분함수
! 결과
|- style="text-align:center;"
| <math>\arcsin x</math>
| <math>x\arcsin x +\sqrt{1-x^2}</math>
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| <math>\arctan x</math>
| <math>x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)</math>
|}
|}
=== 지수함수 ===
=== 지수함수 ===
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| <math>e^{-x^2}</math>
| <math>e^{-x^2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x)</math>
| <math>\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x)</math><ref>Error function의 정의.</ref>
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| <math>\sinh x</math>
| <math>\sinh x</math>
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| <math>\ln x</math>
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| <math>x\ln x -x</math>
| <math>x\ln x -x</math>
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| <math>\frac{1}{x\ln x}</math>
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| <math>x^n\ln x</math>
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|}
|}


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| <math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx</math>
| <math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx</math>
| <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}</math>
| <math>\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}</math>
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| <math>\int_0^{\infty}x^{n-1}e^{-x}dx</math>
| <math>(n-1)!</math>
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| <math>\int_0^{\frac{1}{3}}\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}dx</math><ref>참고로 이 적분은 어떤 욕을 해도 모자른 최악최흉의 [[허위백신]]이라고 쓰고 [[악성코드]]라고 읽는 [[코드클린]]에서 나온 적분이다.</ref>
| <math>\int_0^{\frac{1}{3}}\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}dx</math><ref>참고로 이 적분은 어떤 욕을 해도 모자른 최악최흉의 [[허위백신]]이라고 쓰고 [[악성코드]]라고 읽는 [[코드클린]]에서 나온 적분이다.</ref>

2021년 5월 23일 (일) 17:13 기준 최신판

적분표(Table of integrals)는 자주 쓰이는 부정적분 또는 특이적분을 모은 표를 뜻한다. 자연계열 전공이라면 몇 개는 필수적으로 외우자. 자세한 증명 과정은 생략한다. 적분상수도 생략한다.

부정적분[편집 | 원본 편집]

다항함수[편집 | 원본 편집]

피적분함수 결과
[math]\displaystyle{ x^n }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{1}{n+1}x^{n+1} }[/math]

유리함수[편집 | 원본 편집]

피적분함수 결과
[math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] [math]\displaystyle{ \ln |x| }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2} }[/math] [math]\displaystyle{ \arctan x }[/math]

무리함수[편집 | 원본 편집]

피적분함수 결과
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math] [math]\displaystyle{ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}} }[/math] [math]\displaystyle{ \ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}| }[/math]
[math]\displaystyle{ \sqrt{a^2-x^2} }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) }[/math]

삼각함수[편집 | 원본 편집]

피적분함수 결과
[math]\displaystyle{ \sin x }[/math] [math]\displaystyle{ -\cos x }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos x }[/math] [math]\displaystyle{ \sin x }[/math]
[math]\displaystyle{ \tan x }[/math] [math]\displaystyle{ -\ln|\cos x| }[/math]
[math]\displaystyle{ \csc x }[/math] [math]\displaystyle{ -\ln|\cot x+\csc x| }[/math]
[math]\displaystyle{ \sec x }[/math] [math]\displaystyle{ \ln|\tan x+\sec x| }[/math]
[math]\displaystyle{ \cot x }[/math] [math]\displaystyle{ \ln|\sin x| }[/math]
[math]\displaystyle{ \sec^2 x }[/math] [math]\displaystyle{ \tan x }[/math]
[math]\displaystyle{ \csc^2 x }[/math] [math]\displaystyle{ -\cot x }[/math]
[math]\displaystyle{ \sec x \tan x }[/math] [math]\displaystyle{ \sec x }[/math]
[math]\displaystyle{ \csc x \cot x }[/math] [math]\displaystyle{ -\csc x }[/math]

역삼각함수[편집 | 원본 편집]

피적분함수 결과
[math]\displaystyle{ \arcsin x }[/math] [math]\displaystyle{ x\arcsin x +\sqrt{1-x^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \arctan x }[/math] [math]\displaystyle{ x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2) }[/math]

지수함수[편집 | 원본 편집]

피적분함수 결과
[math]\displaystyle{ e^x }[/math] [math]\displaystyle{ e^x }[/math]
[math]\displaystyle{ e^{-x^2} }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x) }[/math][1]
[math]\displaystyle{ \sinh x }[/math] [math]\displaystyle{ \cosh x }[/math]
[math]\displaystyle{ \cosh x }[/math] [math]\displaystyle{ \sinh x }[/math]

로그함수[편집 | 원본 편집]

피적분함수 결과
[math]\displaystyle{ \ln x }[/math] [math]\displaystyle{ x\ln x -x }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{x\ln x} }[/math] [math]\displaystyle{ \ln|\ln x| }[/math]
[math]\displaystyle{ x^n\ln x }[/math] [math]\displaystyle{ x^{n+1}\left(\frac{\ln x}{n+1}-\frac{1}{(n+1)^2} \right) }[/math]

정적분[편집 | 원본 편집]

정적분 값
[math]\displaystyle{ \int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_0^{\infty}\frac{1-\cos x}{x^2}dx }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_0^{\infty}x^{n-1}e^{-x}dx }[/math] [math]\displaystyle{ (n-1)! }[/math]
[math]\displaystyle{ \int_0^{\frac{1}{3}}\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}dx }[/math][2] 약 0.327471

각주

  1. ↑ Error function의 정의.
  2. ↑ 참고로 이 적분은 어떤 욕을 해도 모자른 최악최흉의 허위백신이라고 쓰고 악성코드라고 읽는 코드클린에서 나온 적분이다.