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이다. 따라서 <math>A\times B \times C</math>라는 표현을 사용하고 싶다면
이다. 따라서 <math>A\times B \times C</math>라는 표현을 사용하고 싶다면
: <math>A\times B \times C=(A\times B)\times C</math>
: <math>A\times B \times C=(A\times B)\times C</math>
와 같이 정의함으로써 불명확성을 피해야 한다.<ref>Karel Hrbacek and Thomas Jech (1999). ''Introduction to Set Theory, Third Edition, Revised and Expanded''. CRC Press. ISBN 0824779150</ref><ref>또한 많은 경우<math>A\times B \times C</math>는 <math>\{(a, b, c): \; a\in A, b\in B, c\in C\}</math>로 정의되므로 이 정의도 그다지 좋은 것은 아니다.</ref> 그렇지 않을 경우 중의적으로 해석할 수 있으므로 잘 정의되지 않는다. 이 경우 이를 해결하는 또 다른 방법이 있는데, <math>(A\times B)\times C</math>와 <math>A\times (B\times C)</math>는 isomorphic하므로, 이 경우 '''well-defined up to isomorphism'''이라고 말할 수 있다.  
와 같이 정의함('''좌-결합성''')으로써 불명확성을 피해야 한다.<ref>Karel Hrbacek and Thomas Jech (1999). ''Introduction to Set Theory, Third Edition, Revised and Expanded''. CRC Press. ISBN 0824779150</ref><ref>또한 많은 경우<math>A\times B \times C</math>는 <math>\{(a, b, c): \; a\in A, b\in B, c\in C\}</math>로 정의되므로 이 정의도 그다지 좋은 것은 아니다.</ref> 그렇지 않을 경우 중의적으로 해석할 수 있으므로 잘 정의되지 않는다. 또한, 이 경우 <math>(A\times B)\times C</math>와 <math>A\times (B\times C)</math>는 isomorphic하므로, <math>A\times B \times C</math>는 '''well-defined up to isomorphism'''이라고 말할 수 있다.  


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[[분류:수학 용어]]
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2016년 6월 20일 (월) 08:05 판

틀:학술

정의

어떤 표현을 정의했을 때 명확한 한 가지 의미로 해석 가능할 경우, 잘 정의되었다(well-defined)고 한다. 즉, 주어진 대상이 유일하게 존재할 때 잘 정의되었다고 한다. 만약 잘 정의되지 않았으면 ill-defined라고 한다.이 단어는 잘 정의되었는가?

예시

예를 들어, 함수 f를 다음과 같이 정의한다고 하자.

[math]\displaystyle{ f:\mathbb{Z}_2\to\mathbb{Z}_4,\quad f([n]_2)=[n]_4\text{ for each }n\in \mathbb{Z} }[/math]

그러면 [math]\displaystyle{ ([1]_2,[1]_4)\in f }[/math]이고 [math]\displaystyle{ ([3]_2,[3]_4)\in f }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ [1]_2=[3]_2 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ [1]_4\ne [3]_4 }[/math]이므로, 함수의 정의에 모순된다. 따라서 f는 잘 정의되지 않았다.[1]

[math]\displaystyle{ 2\cdot 3\cdot 5 }[/math]는 잘 정의되어 있는데, 왜냐 하면 [math]\displaystyle{ (2\cdot 3)\cdot 5=2\cdot (3\cdot 5) }[/math]이기 때문이다. 즉 실수(복소수)에 대해 곱셈의 결합법칙이 성립하기 때문이다. 만약 결합법칙이 성립하지 않는다면? 예를 들어, 집합 [math]\displaystyle{ A,B,C }[/math]에 대해 일반적으로

[math]\displaystyle{ (A\times B)\times C\ne A\times (B\times C) }[/math]

이다. 따라서 [math]\displaystyle{ A\times B \times C }[/math]라는 표현을 사용하고 싶다면

[math]\displaystyle{ A\times B \times C=(A\times B)\times C }[/math]

와 같이 정의함(좌-결합성)으로써 불명확성을 피해야 한다.[2][3] 그렇지 않을 경우 중의적으로 해석할 수 있으므로 잘 정의되지 않는다. 또한, 이 경우 [math]\displaystyle{ (A\times B)\times C }[/math]와 [math]\displaystyle{ A\times (B\times C) }[/math]는 isomorphic하므로, [math]\displaystyle{ A\times B \times C }[/math]는 well-defined up to isomorphism이라고 말할 수 있다.

각주

  1. ↑ 함수
    [math]\displaystyle{ f:\mathbb{Z}_n\to\mathbb{Z}_k, f([a]_n)=[a]_k\text{ for each }a\in \mathbb{Z} }[/math]
    가 잘 정의될 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ \gcd(n,k)=1 }[/math]인 것이다.
  2. ↑ Karel Hrbacek and Thomas Jech (1999). Introduction to Set Theory, Third Edition, Revised and Expanded. CRC Press. ISBN 0824779150
  3. ↑ 또한 많은 경우[math]\displaystyle{ A\times B \times C }[/math]는 [math]\displaystyle{ \{(a, b, c): \; a\in A, b\in B, c\in C\} }[/math]로 정의되므로 이 정의도 그다지 좋은 것은 아니다.