로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!원론 8권은 [[유클리드의 원론/7권|원론 7권]]에 이어 수론에 관한 내용을 설명한다. 주로 [[등비수열]]이나 [[제곱수]], [[세제곱수]]와 관련된 비례 관ㄱ에 대한 정리들이 많이 있다. 정의는 따로 없으나 유클리드 원론 8권을 제대로 이해하기 위해서는 아래와 같이 [[등비수열]]의 존재를 가정해야 한다. (숨은 정의) 연속적으로 비율이 같은 수들의 모임(Continued Proportion)은 여러 수 a1, ..., ak의 모임으로써 두 인접한 수 a<sub>i</sub>, a<sub>i+1</sub>, a<sub>j</sub>, a<sub>j+1</sub> 에 대해 a<sub>i</sub>:a<sub>i+1</sub>=a<sub>j</sub>:a<sub>j+1</sub>이 성립하는 모임을 의미한다. == 정리 == 1. 만일 연속으로 비율이 같은 수들의 모임(등비수열)이 있다. 만일 그 수들의 모임 중 가장 큰 수와 가장 작은 수가 서로소이면, 그 수들의 모임보다 더 작으면서 비율이 같은 모임은 존재하지 않는다. (이것은 a1:a2=a2:a3=...=a(n-1):an일 때 a1과 an이 서로소이면 a1:b1=...=an:bn을 만족하면서 a1>b1인 집합 {bi}는 존재하지 않는다는 것을 의미한다.) 2. 두 수가 주어졌을 때 그 수의 비례를 보존하는 비율이 같은 수의 모임을 찾을 수 있다. (무슨 의미이냐면 27:18에서 27:18=18:12, 18:12=12:8을 만족하므로 27,18,12,8일는 수집단을 이용할 수 있다는 것. 단, 배수관계이면 이것이 무한대가 된다.) 3. 만일 연속으로 비율이 같은 수들의 모임{ai}에 대해 가장 작은 수와 가장 큰 수가 서로소이면 이것과 비율이 같은 수들의 모임 {bi}가 있을 때 ai는 bi보다 크지 않다. 4. 주어진 비율의 수가 여러 가지 존재할 때 그 비율을 보존하는 최소한의 수열을 찾을 수 있다. (정리 2번의 일반화이다. 예를 들면 a:b, b:c, c:d가 4:8, 6:9, 12:15를 만족할 때 우리는 최소의 a:b:c:d 비율을 4:8:12:15로 찾을 수 있다는 것을 설명한다.) 5. 두 평면수 A, B에 대해 A에 대한 B의 비율은 각 변의 곱의 비율에 비례한다. 6. 만일 비례가 같은 연속된 수열(등비수열) a1, a2, ..., an에 대해 a1과 a2가 서로를 나누지 않으면 임의의 수열의 원소 ak, al에 대해서 ak와 al은 서로를 나누지 않는다. (즉, 등비수열에서 등비가 자연수나 자연수의 역수가 아니면 어느 두 수를 택해도 나눈 값이 정수가 되게 하는 두 수가 없다는 것을 의미한다.) 7. 만일 비율이 같은 연속된 수열(등비수열) a1, a2, ..., an에 대하여 a1이 an을 나눈다. 그렇다면 a1은 다음 항 a2를 나눈다. (유클리드 원론에서는 a1, a2, ...은 모두 정수가 되어야 한다.) 8. 만일 네 수 A, B, C, D에 대해서 A:B=C:D가 성립한다. 이 때 A와 B사이에 k개의 정수 a1, ..., ak가 있어서 A, a1, ..., ak, B가 비율이 같은 연속적 수열(등비수열)을 이룬다고 하자. 그렇다면 C와 D 사이에 수열 c1, ,,,, ck가 있어 C, c1, ..., ck, D가 비율이 같은 연속적 수열을 이룰 수 있다. (등비수열은 비율이 같으면 정의할 수 있다는 것을 의미한다.) 9. 만일 두 수 A, B가 서로소이고, 그 사이에 정수 a1, ..., ak가 있어서 A, a1, ..., ak, B가 비율이 같은 연속된 수열을 이룬다고 하자. 그렇다면 단위 1에 대해서 A와 1 사이에도 위의 수열의 길이와 같은 수열 b1, .., bk가 있어서 1, b1, ..., bk, A가 비율이 같은 연속된 수열을 이룬다. (이 명제의 가정이 성립하는 경우는 두 서로소 a,b에 대해서 a^(k+1)과 b^(k+1)를 만족하는 경우밖에 없다는 것을 보여준다.) 10. 만일 두 수 A, B가 각각 1과 A, B 사이에 k개의 수열 a1, ..., ak와 b1, ..., bk가 있어 1, a1, ..., ak, A와 1, b1, ..., bk, B가 이웃항끼리 비율이 같은 수열 이룬다고 하자. 그렇다면 A와 B 사이에서 A, c1, ..., ck, B가 이웃 항끼리는 비율이 같은 수열 c1, ..., ck를 찾을 수 있다. (9번 정리의 부분적인 역이라고 말할 수 있습니다. 즉, a^(k+1)과 b^(k+1) 사이에 우리가 a^k*b, a^(k-1)*b^2, ..., a*b^k를 집어넣을 수 있다는 것을 의미한다.) 11. 두 제곱수 사이에서 우리는 두 제곱수의 비율적 평균(기하평균)을 찾을 수 있다. 또한 이 수는 각 제곱수의 한 변씩의 곱과 동일하다. 12. 두 세제곱수 사이에서 우리는 두 세제곱수를 비율적으로 3등분하는 두 수를 찾을 수 있다. 한편 이 수들은 그 세제곱수의 변의 곱의 3개의 곱의 조합으로 표현할 수 있다.(즉, a^3, b^3에 대해서 우리는 a^2*b, a*b^2를 찾을 수 있다는 것을 말한다.) 13. 만일 어떤 수들이 연속적인 비례 관계를 가지는 수열을 이루면, 그 수들을 제곱한 수열도 연속적인 비례관계를 가지는 수열을 이룬다. 또한 이 수들에서 아무 상수를 곱한 수열도 연속적인 비례관계를 가지는 수열을 이룬다. (등비수열에 대해서는 제곱을 해도, 상수배를 해도 등비수열이 된다는 소리다. 보다 일반적으로는 n제곱을 한 다음 임의의 분수를 곱해도 등비수열의 성질을 보존한다고 말할 수 있다.) 14. 만일 두 제곱수 A, B에 대해서 A가 B를 나누면, A의 한 변을 이루는 수도 B의 한 변을 이루는 수를 나눈다. 반면 어떤 수 A가 B를 나누면, A의 제곱도 B의 제곱을 나눈다. 15. 만일 두 세제곱수 A, B에 대해 A가 B를 나누면, A의 한 변을 이루는 수도 B의 한 변을 이루는 수를 나눈다. 반면 어떤 수 A가 B를 나누면 A의 세제곱도 B의 세제곱을 나눈다. (14번 정리를 활용하면 쉽게 증명할 수 있다.) 16. 만일 두 제곱수 A, B에 대해 A가 B를 나누지 않으면, A의 한 변을 이루는 수도 B의 한 변을 이루는 수를 나누지 않는다. 반면 어떤 수 A가 B를 나누지 않으면 A의 제곱도 B의 제곱을 나누지 않는다.(14번 정리의 역이다.) 17. 만일 두 세제곱수 A, B에 대해 A가 B를 나누지 않으면 A의 한 변을 이루는 수도 B의 한 변을 이루는 수를 나누지 않는다. 반면 어떤 수 A가 B를 나누지 않으면 A의 세제곱도 B의 세제곱을 나누지 않는다. (15번 정리의 역입니다. 우리는 14번-17번 정리를 n제곱의 경우로 일반화시킬 수 있다.) 18. 두 개의 닮은꼴인 평면수 A, B가 있다. 이 때 두 평면수 A, B의 비율적 평균(기하평균)이 존재한다. 또한 이 비율적 평균은 A, B의 대응하는 두 쌍의 변 중 A에서 하나, B에서 하나를 취해서 두 변으로 구성된 평면수와 동일하다. (즉, ka*kb 와 la*lb의 기하평균은 ka*lb=la*kb와 같다는 것을 의미한다. 정리 11번의 일반화라고도 볼 수 있다.) 19. 두 개의 닮은꼴인 입체수 A, B가 있다. 이 때 입체수 A, B를 비율적으로 삼등분하는 두 수가 존재한다. 또한 이 삼등분하는 수는 각 입체수 A, B에서 대응하는 세 변 중 A, B에서 하나씩 골라서 만들 수 있다. (이것은 ka*kb*kc와 la*lb*lc에 대해서 ka*kb*lc와 ka*lb*lc가 있고, 이 두 수가 서로 닮은꼴인 두 입체수를 비율적으로 3등분하는 것을 알 수 있다. 정리 12번의 일반화라고 볼 수도 있다.) 20. 만일 두 수 A, B에 대해서 A와 B 사이에 비율적 평균(기하평균)을 가지고 있으면, A와 B는 서로 닮은꼴인 평면수로 만들 수 있다. (정리 18번의 역이다. 가정을 만족하면 B/A가 완전제곱형태의 분수가 되므로 쉽게 확인할 수 있다.) 21. 만일 두 수 A, B에 대해서 A와 B 사이에 비율적으로 3등분하는 두 수를 가지고 있으면, A와 B는 서로 닮은 꼴인 입체수로 만들 수 있다. (정리 19번의 역이다. 역시 가정을 만족하면 B/A가 완전세제곱형태의 분수가 되며, 정리 14-17번이 그랬던 것처럼 기하적으로 n-1등분하는 수들의 집합이 있을 때 당연히 성립한다.) 22. 세 수 A, B, C가 연속적으로 비례관계를 이룬다. 이 때 제일 앞의 수 A가 제곱수이면 세번째 수 C도 제곱수이다. (정리 20번을 이용하면 쉽게 유도가능하다.) 23. 네 수 A, B, C, D가 연속적으로 비례관계를 이룬다. 이 때 제일 앞의 수 A가 세제곱수이면 네 번째 수 D도 세제곱수이다. (이것도 정리 21번을 이용하면 쉽게 유도가 가능하다. 한 걸음 더 나아가서 정리 22번, 23번을 n+1개의 숫자로 있는 경우로 일반화시킬 수 있다.) 24. 만일 두 수 A, B의 비율이 두 제곱수의 비율과 동일하다고 하자. 그렇다면 둘 중 하나가 제곱수이면 나머지도 제곱수이다. 25. 두 수 A, B에 대해서 B에 대한 A의 비율이 두 세제곱수의 비율과 동일하다고 하자. 그렇다면 둘 중 하나가 세제곱수일 때 나머지 수도 세제곱수이다. (정리 24, 25번도 n제곱수의 경우로 일반화가 가능하다.) 26. 두 수 A, B가 닮은 꼴인 평면수라고 하자. 그렇다면 두 제곱수 C, D가 있어서 B에 대한 A의 비율이 D에 대한 C의 비율과 같게 한다. (정리 24번의 역이다.) 27. 두 수 A, B가 닮은 꼴인 입체수라고 하자. 그렇다면 두 세제곱수 C, D가 있어서 B에 대한 A의 비율이 D에 대한 C의 비율과 같게 한다. (정리 25번의 역이다. 이것도 닮은꼴인 두 n차원수와 n제곱수의 경우로 일반화할 수 있다.) == 참조 == * [http://blog.naver.com/lyh901125/70132210357 빛의 편지 블로그 -원론 8권 소개] * [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVIII/bookVIII.html D.E.Joyce 교수 원론 7권 설명] {{유클리드의 원론}} [[분류:유클리드의 원론|8권]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:유클리드의 원론 (편집) 틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)