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이다. 여기서 <math>a_nq^n</math> 항만 남기고 모두 이항하면 | 이다. 여기서 <math>a_nq^n</math> 항만 남기고 모두 이항하면 | ||
:<math>a_nq^n = -p \left(\sum_{i=0}^{n-1} a_i p^{n-i-1} q^i \right)</math> | |||
이고, <math>p</math>와 <math>q</math>가 서로소이므로 <math>p\mid a_n</math>이다. 같은 방법으로 <math>q\mid a_0</math>이다. □ | 이고, <math>p</math>와 <math>q</math>가 서로소이므로 <math>p\mid a_n</math>이다. 같은 방법으로 <math>q\mid a_0</math>이다. □ | ||
2016년 6월 20일 (월) 08:18 판
대수학에서 유리근 정리(rational root theorem)는 정수계수 다항식의 유리근의 조건을 제한할 수 있는 정리이다.
진술
정수계수 다항식 [math]\displaystyle{ P(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i \in \mathbb Z [x] }[/math]이 유리근 [math]\displaystyle{ x=\frac q p \; (\operatorname{gcd}(p,q)=1) }[/math]을 가지면 [math]\displaystyle{ p|a_n \text{ and } \; q|a_0 }[/math]이다. 즉, 어떤 다항식이 유리근을 가지면 그는 상수항의 약수 중 하나를 최고차항의 약수 중 하나로 나눈 것이다.
이와 대우로, 상수항의 약수 중 하나를 최고차항의 약수 중 하나로 나눈 것이 주어진 다항식의 근이 모두 아닐 때 그 근은 유리근을 갖지 않는다.
증명
나머지 정리에 의하여
- [math]\displaystyle{ P \left(\frac{q}{p}\right) = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ p^nP\left(\frac{q}{p}\right) =p^n\sum_{i=0}^n a_i\left(\frac{q}{p}\right) ^i = \sum_{i=0}^n a_ip^{n-i}q^i =0 . }[/math]
이다. 여기서 [math]\displaystyle{ a_nq^n }[/math] 항만 남기고 모두 이항하면
- [math]\displaystyle{ a_nq^n = -p \left(\sum_{i=0}^{n-1} a_i p^{n-i-1} q^i \right) }[/math]
이고, [math]\displaystyle{ p }[/math]와 [math]\displaystyle{ q }[/math]가 서로소이므로 [math]\displaystyle{ p\mid a_n }[/math]이다. 같은 방법으로 [math]\displaystyle{ q\mid a_0 }[/math]이다. □