위키독:금속 비율

금속 비율

Metallic Ratio

황금비율

지금은 많은 사람들이 알고 있는 황금비율이라는 것이 있다.

길이를 나누는 비율 중 사람들이 가장 아름답다고 하는 비율로 그 비는 대략 1.618이다. 이 비율은 신기하게도 수많은 건축물과 조각상, 앵무조개, 각종 카드의 비율, 애플사의 로고 등에도 쓰여져서 일종의 '신화적' 비율로 인식되었으나 죄다 사실이 아닌 것으로 드러났다. 즉 이 특별한 비에 사람들이 아름다움을 느낀다는 것은 일종의 플라시보효과가 더해진 것이다. 그럼에도 불구하고 '황금'이라는 매력적인 이름덕분인지 여전히 사람들 사이에서 회자되고 있다.

황금비율이라고 부르는 φ(파이)는 따지고보면 그렇게 특별할것도 없는 비율이다. 물론 이는 '황금비율'의 특정한 비이며 처음 들었을땐 확실히 묘한 매력이 느껴지긴하지만, 조금 수학적으로 파고들어가보면 그야말로 '별 거 아닌' 것이다.

이 비를 일반화 시켜보면 다음과 같은 식을 얻게 된다.

재미있는 것은 이 식을 더욱 일반화 시켜 비단 φ뿐만 아니라 다른 비율도 구할 수 있다는 것인데 이것이 바로 금속비율이라고 불리는 것이 된다.

금속비율

각종 비율을 구하기 위한 일반식이다. n이 1로 주어질때가 바로 우리가 황금 비율로 인식하는 1.618이며 n에 1대신 0~9까지 넣었을 때의 값은 다음과 같다.

n	[[File:http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B%7B%7Bn%7D%2B%5Csqrt%7B%7B%7B%7Bn%7D%7D%5E%7B%7B2%7D%7D%2B%7B4%7D%7D%7D%7D%7D%7B%7B2%7D%7D%7C(n+ sqrt(n^2+4 ))/2]]	값	이름
0	(0 + [[File:http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%5Csqrt%7B%7B%7B4%7D%7D%7D%7Csqrt(4)]])/2	1
1	(1 + [[File:http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%5Csqrt%7B%7B%7B5%7D%7D%7D%7Csqrt(5)]])/2	1.618033989	황금비율
2	(2 + [[File:http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%5Csqrt%7B%7B%7B8%7D%7D%7D%7Csqrt(8)]])/2	2.414213562	은비율
3	(3 + [[File:http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%5Csqrt%7B%7B%7B13%7D%7D%7D%7Csqrt(13)]])/2	3.302775638	동비율
4	(4 + [[File:http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%5Csqrt%7B%7B%7B20%7D%7D%7D%7Csqrt(20)]])/2	4.236067978
5	(5 + [[File:http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%5Csqrt%7B%7B%7B29%7D%7D%7D%7Csqrt(29)]])/2	5.192582404
6	(6 + [[File:http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%5Csqrt%7B%7B%7B40%7D%7D%7D%7Csqrt(40)]])/2	6.162277660
7	(7 + [[File:http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%5Csqrt%7B%7B%7B53%7D%7D%7D%7Csqrt(53)]])/2	7.140054945
8	(8 + [[File:http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%5Csqrt%7B%7B%7B68%7D%7D%7D%7Csqrt(68)]])/2	8.123105626
9	(9 + [[File:http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%5Csqrt%7B%7B%7B85%7D%7D%7D%7Csqrt(85)]])/2	9.109772229

은비율은 백은비(白銀比 , Silver ratio)라고도 하며 동비율 또한 청동비(青銅比, Blonze ratio)라고도 한다. 물론 이는 처음부터 작정하고 만든 것이 아니라 가장 아름답다고 하여 지은 '황금비율'에 그 이름을 맞춰놓은 것이다. 그 증거로 동비율 이후에는 이름도 없다. 금은동의 신화는 아직 바뀌지 않은 것이다!

이것이 황금비율이라는 1.618:1의 비율로 만든 사각형으로 가장 잘 알려져 있다. 또한 은비율과 동비율로 만든 사각형도 존재하는데 각각 다음과 같다.

은비율인 2.414로 만든 사각형. 1:1 정사각형 두 개와 0.414비율의 사각형 하나를 덧붙인 모양이다.

동비율 직사각형. 3.303의 비율이므로 1:1 정사각형 3개와 0.303비율의 사각형 하나를 덧붙여놓았다. 이런식으로 이 비율에 관한 것은 무한히 만들어낼 수 있게 된다.

요는 황금비율에 대해 우리가 알고 있었던 것은 대부분 사실이 아닌 것으로 밝혀졌고, 황금비율 자체도 그다지 특별할 것 없는 비율이라는 것이다.