위상수학 편집하기


[[파일:Stomachachepp.jpg|섬네일|<s>[[위상공간]]을 가진 여성</s>]]
位相數學 / Topology
<s>위가 상하게 만드는 수학</s> <s>반대말은 아래하수학</s>

==개요==
일반적인 추상적 대상에 기하학적인 직관을 불어넣기 위해 만들어진 개념인 [[위상공간]]에 대해 탐구하는 학문.

위상공간이란 "근처" 라든가, "수렴한다"든가 하는 기하학적인 개념을 정의하기 위해 우리가 일상적으로 생각하는 3차원 공간의 개념을 핵심([[위상]])만 남기고 모두 없앤 개념이다. 즉 "[[근방]]"이 무엇이냐에 대한 정보만이 남아 있으며 A와 B에서 얼마나 멀리 떨어져 있는가? 라는 [[거리]] 개념따위는 존재하지 않는다. 위상공간을 잘 정의함으로써 기존에 단순히 [[집합]]으로만 여겨지던 대상들에게 기하학적 직관을 불어넣을 수 있으며, 이를 통하여 수학자들은 그 집합들에 대해 새로운 아이디어를 얻어가곤 한다. 자연스럽게 위상적 대상으로 여기기가 어렵지만 위상적 직관이 생겨서 이득을 보는 대상들의 예로는 [[p-adic Number]]와 [[Profinite Group]] 등이 있다.

==소개==
===열린 집합===
{{참고|열린 집합|닫힌 집합}}
위상공간은 아무 집합 <math>X</math>를 갖다 놓고, 그중 <math>X</math>의 특정한 [[부분집합]]들을 "[[열린 집합]]"이라고 약속하는 것이다. 즉, <math>\mathcal{T}</math>가 <math>X</math>의 부분집합들을 모아놓은 집합이라고 하면, (<math>\mathcal{T}</math>가 특정한 조건을 만족할 때) <math>(X,\mathcal{T})</math>를 [[위상공간]]이라고 한다. 보통 <math>\mathcal{T}</math>는 빼고 그냥 <math>X</math>를 위상공간이라고 쓰는데, 이는 관심 영역에 위상이 없기 때문이다. 예로 아무런 언급없이 실수 <math>\mathbb{R}</math>를 언급한다면 위상은 [[해석학]]에서 쓰는 위상(보통위상)이라고 생각하면 된다. 많은 위상공간들은 '''실용적인 목적'''에 부합하는 위상 <math>\mathcal{T}</math>이 하나밖에 없기 때문에 "거시기 그 <math>\mathcal{T}</math> 있잖혀" 하듯이 <math>\mathcal{T}</math>는 그냥 무시하고 안 쓰는 것이다. 처음엔 이상하게 보이겠지만 차차 익숙해진다.

아무 부분집합들이나 모아놓고 열린 집합이라고 부르는 것이라면, 열린 집합은 대체 무슨 직관을 담고 있느냐를 알아야 할 것이다. 열린집합은 방문을 열어뒀을 때 안팎의 구분이 애매하듯이, "껍질" (방문을 열어둔 방의 경우에는 "문"이 껍질이다)이 없는 집합을 두고 수학자들은 "열린 집합"이라고 한다.

===근방===
제일 처음에 말했듯이, 어떤 집합의 "근방"에 대한 정보만이 남아 있는 것이 위상공간이다. 하지만 방금은 열심히 "열린 집합" 얘기만 했다. 그러면 둘은 무슨 관계인가? 집합 <math>X</math>의 어떤 임의의 점 <math>x</math>에 대해서 <math>x</math>의 근방은 바로 <math>x</math>를 포함하는 열린 집합으로 규정된다. 즉, 위상공간이라는 것은 "근방"이 무엇인가를 규정되어 있는 집합 <math>X</math>라고 할 수 있다.

==위상공간==
{{참고|위상공간}}

===정의===
다음의 세 조건을 만족하는 [[집합족]](set family)을 위상(topology)라 하고 <math>(X,\mathcal{T})</math>를 위상공간이라 한다. 위상은 <math>X</math>의 부분집합들을 모은 집합족이며 <math>\mathcal{T}</math>의 원소들을 열린 집합이라고 정의하며, <math>X</math>의 임의의 원소 <math>x</math>에 대해 <math>x</math>의 근방은 <math>x</math>를 포함하는 열린 집합이라고 정의한다.
# <math>\emptyset \in \mathcal{T}, X \in \mathcal{T}</math>
# 임의의 <math>i \in I</math>에 대해 <math>G_i \in \mathcal{T}</math>이면 <math>\bigcup_{i \in I} G_i \in \mathcal{T}</math>이다. 즉, <math>\mathcal{T}</math>의 원소들을 합집합해도 <math>\mathcal{T}</math>에 속한다.
# <math>i=1, 2, \cdots, n</math>에 대해 <math>G_i \in \mathcal{T}</math>이면 <math>\bigcap_{i=1}^{n} G_{i} \in \mathcal{T}</math>이다. 즉, <math>\mathcal{T}</math>의 원소들을 유한 교집합해도 <math>\mathcal{T}</math>에 속한다.

여기서 2번에서 [[첨자집합]] <math>I</math>가 유한집합인지, 무한집합인지 명시하지 않았다. 말인즉슨, 유한 개 합집합을 하든, 가산개 합집합을 하든, 심지어 비가산개의 합집합을 해도 그것은<math>\mathcal{T}</math>에 속해야 위상이 된다. 3번 조건은 경우에 따라 임의의 <math>G_1, G_2 \in \mathcal{T}</math>에 대하여 <math>G_1 \cap G_2 \in \mathcal{T}</math>로 표현하기도 한다. 두 개만 성립하면 [[이항연산]]에 의해 유한 개로 확장할 수 있기 때문이다.

1번 조건은 자잘한 문제가 생기는 것을 방지하기 위해서만 존재한다. 한편 2,3번은 위에서 이야기한 "열린집합"의 직관을 위해 아주 중요한 조건들이다. 왜 그런지를 살펴보기 위해서는 "거리공간"의 개념에 대해 고찰이 필요하다! "거리공간"이 바로 위상공간의 모든 직관을 담고 있는 아주 중요한 공간이다.

=== 위상의 종류 ===
위상이란 결국에는 '어떤 집합이 열린집합이냐?'를 정의하는 것이다. 가장 간단하게 생각할 수 있는 것으로 실수에서 <math>(0,1), (1,2)</math> 같은 열린 구간을 생각할 수 있다. 이런 열린 구간들의 [[합집합]]들만 열린 집합으로 정의하는 것이 보통위상(usual topology)이다.

어떤 집합 <math>X</math>의 모든 부분집합 <math>P(X)</math>를 열린 집합으로 보는 위상을 이산위상(discrete topology)라 한다. 그렇다면 열린 집합을 [[공집합]]과 전체집합, 두 개만 정의하는 위상도 있는데 이를 비이산위상(indiscrete topology) 혹은 자명한 위상(trivial topology)라 한다.

<math>\mathcal{T}= \left\{ U \subset X | X \setminus U \right\} \cup \left\{ \emptyset \right\} </math>이라 하고 <math>X \setminus U</math>를 유한집합이라 하면 [[여유한위상]](cofinite topology, finite complement topology)가 되고 가산집합이라 하면 [[여가산위상]](cocountable topology, countable complement topology)라 한다. 여유한 위상은 여집합이 유한집합이면 열린집합, 여가산위상은 가산집합이면 열린집합이라 보겠다는 것이다. 기묘하게 보이는 정의겠지만 위상의 정의에 의해 조건을 맞춰보면 다 성립한다.

https://www.youtube.com/watch?v=SyD4p8_y8Kw

==위상공간의 모델: 거리공간==

제일 위에서 "위상공간"이란 기하학적 직관을 [[팬티]]만 남기고 빨가벗긴 것이라고 설명했다. 그런데, 팬티만 말고 [[츄리닝]]까지는 입혀두고 벗긴 개념이 있다. 그것이 바로 "[[거리공간]](metric space)"이다. 즉, 덜 추상적인 것에서 더 추상적인 개념으로 나열을 해보면 다음과 같다:

[[유클리드 공간]] < [[내적공간]] < [[노음공간]] < [[거리공간]] < [[위상공간]]

거리공간은 최소한 A랑 B 사이의 거리정도는 규정할 수 있는 집합을 의미한다.

===거리공간의 직관===

===거리공간의 정의===

어떤 집합 <math>X</math>가 주어졌을 때, 이 함수에 거리함수 <math>d : X \times X \rightarrow \mathbb{R}</math>를 추가해서 거리공간을 만든다. 이때, <math>d</math>는 다음 세 가지 조건을 만족한다.
* <math>0 \leq d(x,y)</math>를 만족한다. <ref>거리가 음수일 리가 없다.</ref><ref>사실 이 조건은 나머지 조건들에 의해 연역될 수 있으므로 필수적으로 적어야 할 필요는 없다. 0 = d(x,x) <= d(x,y) + d(y,x) = 2d(x,y) </ref> <math> d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y</math> <ref>두 점 사이의 거리가 0이라는 것은 두 점이 같다는 것을 뜻한다.</ref>
* <math>d(x,y) = d(y,x)</math> <ref>A에서 B까지의 거리와 B에서 A까지의 거리는 같다.</ref>
* <math>d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)</math> <ref>삼각형에서 한 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 작다는 것을 나타낸다.</ref>

거리함수가 주어졌을 때, 이 거리함수를 가지고 이 집합에 위상을 줄 수 있다. 양수 <math>\epsilon</math>와 점 <math>x </math>가 있을 때, 점 <math>x</math>와의 거리가 <math>\epsilon</math>보다 작은 점들을 모아둔 집합을 열린 공(<math>B_\epsilon(x)</math>, open ball)이라고 한다. 이런 열린 공들을 [[기저]](basis)로 하는 위상을 설정하면 거리공간이 된다. 그래서 어떤 집합에 거리함수를 설정한다고만 해도 기본적으로 이 집합에 위상을 준다고 이해하면 된다.

===위상공간의 2,3번 조건에 대한 설명===
열린구간 무한히 많이 합집합해봤자 열린구간이다.

한편 열린구간 무한히 많이 교집합하면 닫힌구간이 될 수 도 있다. 열린 구간 <math>(- {1 \over n}, {1 \over n} )</math>를 무한 교집합 하면 <math>\bigcap_{n=1}^{\infty} (- {1 \over n}, {1 \over n} )= \left\{ 0 \right\}</math>이 되어 <math>\left\{ 0 \right\}</math>은 (보통 위상공간에서) 열린 집합이 아니다. 그래서 3번 조건은 "유한 교집합"으로 규정하는 것이다.

==기저 (basis)==

거리공간에서 open ball들을 모아서 임의의 열린집합을 만들었듯이, 임의의 위상공간에서도 적당한 집합들을 모아서 모든 열린 집합을 만든다는 발상을 할 수 있다. 이것이 기저 (basis)의 개념이다.

==집적점과 닫힌집합==

무한히 가까이 모인다는 의미에서 "[[집적점]]" (limit point)이라는 개념이 있다. 위상공간 X를 두고 그것의 부분집합 S를 잡자. x가 S의 응집점이라고 하는 것은, x의 임의의 근방 U에 대해서 U-{x}는 S의 점을 최소한 하나라도 포함하고 있다는 것이다. 거리공간에서는 x와 S의 점들의 거리가 (엡실론델타 논법으로) 무한히 좁다는 뜻이 된다. 이것이 기하학적인 직관을 임의의 위상공간에 부여한 한 예이다.

닫힌집합은 열린집합의 여집합으로 정의되지만, 다른 정의도 가능하다:

"''위상공간 X의 부분집합 K가 닫혔다는 것은, K의 집적점이 모두 K 안에 담겨 있다는 것이다.''"

닫힌집합이 "껍데기를 포함하고 있다"는 것을 추상화한 것이 바로 이것이다. 그리고 이 정의가 열린집합의 여집합이라는 것은 동치이며, 증명은 [[Left as Exercise|연습문제로 남긴다]]. 이건 정말 직접 시도해보는 게 가장 도움이 될 것이다. <s>결코 귀찮아서가 아니다</s>

==다양한 위상공간들==

위에서는 위상공간의 정의에 큰 제약을 두지 않았지만, 추가적인 조건 몇 개를 더 요구함으로써 더 말 잘 듣고 착하고 예쁜 이론을 전개하는 것이 가능하다.(본격 이론 페티쉬)

===하우스도르프 공간===

실수 직선을 두고, 서로 다른 실수 x,y를 아무렇게나 골라보자. 예를 들어 x=10, y=1000. 그러면 x의 근방과 y의 근방을 잘 잡아서 두 근방이 절대 안겹치도록 할 수 있을까? 뭐, 그냥 구간 두 개를 (9,11)랑 (999,1001) 이렇게 잡으면 된다. 근데 만약 x=10, y=10.1이었다면 어떻게 할까? 그러면 (x-e,x+e), (y-e,y+e)를 잡되 e를 0.001이라고 하면 된다. 더 일반적으로는 e를 그냥 x-y의 반절로 잡으면 장땡이다. 그리고 이것은 거리공간에서 똑같이 논리전개가 가능하다.

이렇게, 착하고 말 잘 듣는 위상공간들은 아무 두점이나 잡아도 그 두점을 분리하는 근방들이 존재한다. 이런 공간을 하우스도르프 공간이라고 한다. 정의로 말하자면, 위상공간 X가 주어졌을 때, 그 어떤 x,y라는 원소를 고른다고 하더라도 x를 포함하는 근방 U, y를 포함하는 근방 V를 잘 잡아서 U와 V에 교집합이 없도록 할 수 있다면 X는 [[하우스도르프 공간]]이라고 한다.

하우스도르프 공간은 T<sub>2</sub> 공간이라고도 한다. 하우스도르프 공간의 조건을 더 강화해서 요구했을 때에는 T<sub>3</sub>, T<sub>3.5</sub>, T<sub>4</sub>, T<sub>4.5</sub> 공간이라고도 하며, 약화시킨 놈들은 T<sub>1</sub>, T<sub>0</sub>도 있다.

하우스도르프 공간이 아닌 놈이 존재하지 않겠지 싶을 수도 있겠지만, 토폴로지를 줄 때에 T={공집합, 전체집합}이라고만 하면 하우스도르프는커녕 T<sub>0</sub> 공간조차 아니게 된다! 이렇게 "반례를 위한 반례"가 아니어도, 실제로 응용되는 수준에서도 얼마든지 하우스도르프공간이 아닌 공간을 찾을 수 있다. 예를 들면 [[affine scheme]]은 대부분 하우스도르프 공간이 아니다.

===연결 공간===

[[연결 공간]]이라고 하면 직관적으로 경로 연결 공간을 떠올리게 된다. 공간의 두 점이 있을 때, 그 두 점을 잇는 선을 그릴 수 있으면 [[경로 연결 공간]]이다. 수학적으로는 
* 임의의 두 점<math>x,y \in X</math>에 대해, <math>f(0)=x</math>이고 <math>f(1)=y</math>를 만족하는 연속함수 <math>f : [0,1] \rightarrow X</math>가 존재할 때, <math>X</math>가 경로 연결 공간이라고 한다. 여기서 정의역은 편의상 <math>[0,1]</math>로 놓은 것으로 반드시 <math>[0,1]</math>일 필요는 없고 <math>[a,b]</math>처럼 닫힌 구간이기만 하면 된다.

그리고 이런 경로 연결 공간을 일반화한 것이 연결 공간이다. 공집합이 아닌 두 열린집합으로 나눌 수 있다면 비연결 공간이고 나눌 수 없다면 연결공간이다. 당연히, 경로 연결 공간은 연결 공간이다. 그 이유는 <math>[0,1]</math>가 연결 공간이고 <math>f</math>가 연속이기 때문에 <math>f([0,1])</math>또한 연결 공간이라는 점을 이용해 경로 연결 공간이 연결 공간임을 유도할 수 있다.

===컴팩트 공간===

어떤 위상공간에 대해 모든 열린 덮개(open cover)들이 유한 부분 덮개(finite subcover)가 존재할 때 [[컴팩트 공간]]이라고 한다.

...안타깝게도 이렇게만 봐서는 이 정의가 왜 중요하며 어떻게 하다 나온 건지 의중을 파악하기가 너무나 힘들다. <s>많은 이들이 수학을 접어버리는 관문중 하나이다</s> 그러니 컴팩트함의 직관에 대해 함께 알아보자.

====이게 대체 뭘까?====

컴팩트(긴밀, compact)라는 단어는 빽빽하다는 뜻인데, 수학적으로 빽빽하다는 것을 어떻게 표현할지 고민하다가 나온 정의다. 덕분에 정의만 봐서 그 의미를 제대로 이해하기가 쉽지 않다. 하지만, 거리공간 <math>X</math>에 한정해서, <math>X</math>가 컴팩트함은 ''<math>S \subset X </math>가 무한 부분집합이면, S는 집적점 (limit point)를 갖는다''와 동치이다(볼차노-바이어슈트라스 정리). 즉, 집합 안에서 열심히 뛰어다녀봤자 어떤 점에는 무한히 가까이 다가간다는 것이다. 다른말로 "부처님 손바닥 안"이라는 것! 이 조건이 의미하는 바를 설명하기 위해 두 가지 예를 들어보겠다.

예를 들어서, 2차원 평면에 있는 단위원 <math> D = \{ (x,y)\in \mathbb R^2 | x^2+y^2<1\}</math> 의 경우, <math> S= \{ (0,0), (\frac12, 0), (\frac23,0), (\frac 34,0) , \cdots\}</math>라는 수열을 생각해보자. 이 수열을 <math> \mathbb R^2</math>에서 보면 <math> (1,0)</math>이라는 집적점 (limit point)가 있다는 것이 명백하다. 하지만 <math> D </math>에서만 생각을 한다면 <math> S </math>라는 수열은 그 어느 점에도 무한히 가까이 가지 않는다. <math> D </math>는 거리공간이기 때문에 (2차원에서 원래 거리를 재듯이 똑같이 거리함수를 주면 된다) 위에서 말한 동치조건 때문에 <math> D</math>는 컴팩트하지 않음을 알 수 있다. (물론, <math> D</math>에 통상적인 위상을 줬을 때만을 이야기하는 것이다. <math> D </math>에 indiscrete topology를 주면 컴팩트해진다. 위상을 처음 공부하는 사람들은 "통상적으로 다루는 위상"이 있다는 것에 익숙해지자.)

한편 <math> \bar D = \{ (x,y)\in \mathbb R^2 | x^2+y^2\leq 1\}</math>을 생각하자. 여기 위에서 수열을 잡으면 항상 집적점이 생기기 마련이다. 그 직관을 이야기하자면, 유한 집합 안에 무한집합을 우겨넣었을 때 서로 무한히 가까워지기 때문에 "바깥"으로 도망가는 길만이 집적점을 만들지 않는 것이지만, 밖으로 도망가봤자 <math> \bar D</math>에는 <math> D</math>와는 달리 울타리 (단위원!)이 길을 가로막고 있으므로 어느 수열을 잡아도 어떤 점에는 무한히 가까워질 수밖에 없는 것이다. 물론 이상은 직관을 설명한 것이고, 엄밀하게 다루는 것은 또 다르다. 심심하면 혼자 힘으로 <math> \bar D</math>의 모든 무한 부분집합은 집적점이 생길 수밖에 없음을 증명해보아라.

이렇게, 컴팩트하다는 건 점들이 서로 빽빽하게 모여 있으며 넘쳐흐르지 않는다고 생각할 수 있다. 위의 직관적인 성질, 즉 ''<math>S \subset X </math>가 무한 부분집합이면, S는 집적점 (limit point)를 갖는다''에는 따로 이름이 붙어 있다: 집적점 컴팩트함 (limit point compactness)이라고 한다. 위에서 말했듯이, 거리공간에서는 컴팩트함과 집적점 컴팩트함이 동치이다. 일반적인 공간에서는 모든 컴팩트 집합이 집적점-컴팩트 집합이긴 하지만 역은 성립하지 않는다. 집적점 컴팩트함의 직관적인 정의를 두고 열린 덮개에 대한 원래 정의를 고수하는 것은 원래대로 정의했을 때 더 활용도가 많기 때문이다. ([http://arxiv.org/pdf/1006.4131.pdf 컴팩트 정의의 역사]) 결국 수학을 심도있게 공부하려면 컴팩트함의 원래 정의를 제대로 곱씹을 필요가 있기에 열린 덮개에 대해서 골머리 썩이는 건 보통 불가피하지만, 이상의 <math> D</math>와 <math> \bar D</math>를 생각하며 직관이라도 알아두면 많이 편리할 것이다.

====이걸 알면 어따 쓸까?====

<s>어따쓰더라... 참 많이 쓰이긴 하는데</s>

컴팩트한 공간은 "작고 아기자기한" 공간이기에 적당히 들어맞아야 할 것 같은 성질들이 많이 들어맞는다. 또한, 작고 귀엽기 때문에 생김새를 금방 파악할 수도 있다.

컴팩트한 공간에서 실수값을 가진 연속함수를 정의하면, 이 함수는 항상 최대값과 최소값을 가진다.

컴팩트한 공간에서 하우스도르프한 공간으로 가는 함수가 연속이고 전단사 (bijective)이면, 이 함수의 역도 연속이다. 즉, 이 함수는 동형함수 (homeomorphism)이 된다.

컴팩트한 공간의 연속적인 사상 (image)는 컴팩트하고, 컴팩트한 공간들을 곱하면 (product topology를 줘야 한다!) 컴팩트하다. 이를 통해 알고 있던 컴팩트 공간에서 새로운 컴팩트 공간들을 만들어낼 수도 있다. 즉 위의 좋은 성질들을 더 광범위하게 활용할 수 있다는 뜻이다.

[http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/images/5/57/Surfaces.png 이그림추가바람]

컴팩트하고 방향을 줄 수 있는 (orientable) 곡면 (2차원 [[다양체]])은 완전히 분류가 되어 있다. 이게 위에서 설명한 "생김새를 금방 파악할 수 있다"는 것의 예이다. 비슷한 예로, [[리만-로크 정리]]를 사용해서 컴팩트한 [[리만 표면]]을 어느 정도 분류할 수 있다.

====하이네-보렐 정리====
{{본문|하이네-보렐 정리}}

'''하이네-보렐 정리'''(Heine-Borel theorem)는 [[유클리드 공간]] <math> \mathbb R^n </math>에서는 "집합<math>S</math>가 컴팩트하다"는 것과 "그 집합이 닫혀 있고 (closed) 유계 (bounded)다"는 것이 동치라는 정리이다. 이 정리는 컴팩트함을 아주 손쉽게 판단할 수 있는 기준으로, 원래의 그 복잡한 정의를 잠시 잊어도 되게 하는 편리함이 있다.

이는 중요한 정리로, 유클리드 공간에서의 컴팩트 집합의 직관을 만드는 데에 도움을 주기도 한다. 예를 들자면 열린 구간 <math>(0,1)</math>의 경우 <math>\bigcup_{n=1}^{\infty} ({1 \over n}, 1)=(0,1)</math>이 되므로 열린 덮개이지만 유한 부분 덮개를 고르면 <math>(0,1)</math>를 덮지 못하므로<ref>덮개가 유한 개니까 가장 n이 클 때를 고를 수 있고, 1/n은 그 유한 부분덮개가 덮지 못한다.</ref> <math>(0,1)</math>은 컴팩트가 아니다.

==연속사상==

===소개===
사실 원래 위상수학은 위상적 변형의 세 가지 특성인 구부리거나 잡아당기고 비트는 조작을 하여도 변하지 않는 사물의 특성을 연구하는 학문이다. 이 과정을 일반적인 상황에서 진행하기 위하여 위의 다소 생소할 수 있는 정의들과 논의들이 나타난 것일 뿐이다! (물론 ) 그렇기에, 원래 위상수학을 처음 공부하던 학자들의 마음으로 돌아가보자. 구부리고 잡아당기고 비트는 건 위상공간의 정의를 가지고는 어떻게 정의할 수 있을까?

구부리거나 잡아당기고 비트는 조작은 다르게 말해, 변형 전에 서로 가까이 있던 대상의 점들은 변형된 후에도 서로 가까이 있어야 한다는 것이다. 이러한 변형을 동형사상 (homeomorphism)이라고 하며, X에 동형사상을 적용했을 때 Y가 된다면, X는 Y와 동형이라고 한다. 이렇게 본격적으로 쪼물딱쪼물딱해도 같아지는 물체들에 대해 엄밀하고 매우 일반적인 논의를 하고 싶다면 동형함수가 뭔지 위에서 말한 정의들을 활용하여 해보면 될 것이다.

<math> f </math>가 동형사상이라는 것은 <math> f </math>가 연속함수이며, 정의역과 치역의 모든 점을 하나하나씩 매칭해주며 (전단사 / bijective), <math> f </math>의 역함수 역시 연속함수라는 것으로 정의된다. 연속적으로 안정적으로 잘 변화시킨다는 뜻이다.

그런데 사실 아직은 연속함수가 뭔지도 정의하지 않았다. 위상수학에서의 연속함수는 처음보면 생소할 수도 있는 방식으로 정의되지만, 위상공간에서 정의된 일반적인 연속성을 거리공간 (특히 <math> \mathbb R^n </math>)에 적용하면 정확히 ε-δ를 사용한 정의가 된다. 이하에는 연속사상의 정의를 소개하고, 동형사상의 정의를 다시 소개한다.

===연속사상의 정의===

<math>X, Y</math>를 각각 위상공간이라 할 때, <math>f: X \rightarrow Y</math>가 <math>f(x)</math>의 열린 근방 <math>H \subset Y</math>에 대하여 <math>G \subset f^{-1}(H)</math> 혹은 <math>f(G) \subset H</math>를 만족하는 <math>x</math>의 열린 근방 <math>G \subset X</math>가 존재할 때 한 점 <math>x \in X</math>에서 연속이라 한다.

또한 <math>f: X \rightarrow Y</math>가 임의의 <math>Y</math>-열린집합 <math>V</math>에 대하여 <math>f^{-1}(V)</math>가 <math>X</math>-열린집합일 때 <math>f</math>가 연속사상이라 정의한다. 이런식으로 생각하면 정의역이나 공역이 어떤 위상공간이냐에 따라 보통위상공간에서 연속이었던 함수도 불연속으로, 불연속이었던 함수도 연속으로 바뀔 수 있다.

===동형사상의 정의===

최종적으로 <math>f: X \rightarrow Y</math>인 <math>f</math>가 전단사이고 <math>f</math>와 <math>f^{-1}</math>이 연속일 때 위상동형사상이라 하고, 위상동형사상이 존재하면 두 공간 <math>X, Y</math>를 위상동형이라 한다.

<math>f</math>가 연속이면 <math>f^{-1}</math>가 연속인 건 당연한거 아닌가?라는 생각이 들 수 있는데 <math>[0,1)</math>에서 단위원 <math>S^{1}</math>으로 가는 함수 <math>f: [0,1) \rightarrow S^{1}</math>를 <math>f(t)=(\cos 2\pi t, \sin 2\pi t), t\in[0,1)</math>로 정의하면 <math>f</math>는 연속이지만 <math>f^{-1}</math>는 연속이 아니다. 한편, 만약 정의역이 컴팩트하고 치역이 하우스도르프하면 전단사 연속함수는 역도 연속이라서 자동으로 동형사상이 된다.

==[[대수적 위상수학]], [[미분위상수학]]==

이상의 직관을 활용해서 재밌는 새로운 정보들을 알아낼 수 있다.

{{각주}}
[[분류:위상수학| ]]