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{{학술 관련 정보}} | |||
'''위상공간'''(topological space)은 위상이 정의된 공간(과 그 위상의 순서쌍)을 말한다. 위상공간에서는 근방만이 정의되어 있을뿐, [[거리공간|거리]]의 개념은 주어져 있지 않다. | '''위상공간'''(topological space)은 위상이 정의된 공간(과 그 위상의 순서쌍)을 말한다. 위상공간에서는 근방만이 정의되어 있을뿐, [[거리공간|거리]]의 개념은 주어져 있지 않다. | ||
==정의== | ==정의== | ||
다음의 세 조건을 만족하는 [[집합족]] <math>\mathcal T</math>을 '''위상'''(topology)라 하고 <math>(X,\mathcal{T})</math>를 '''위상공간'''이라 한다: | 다음의 세 조건을 만족하는 [[집합족]] <math>\mathcal T</math>을 '''위상'''(topology)라 하고 <math>(X,\mathcal{T})</math>를 '''위상공간'''이라 한다: | ||
* <math>\emptyset , X \in \mathcal{T}</math> | * <math>\emptyset , X \in \mathcal{T}</math> | ||
* 임의의 <math>i \in J</math>에 대해 <math>G_i \in \mathcal{T}</math>이면 <math>\bigcup_{i \in | * 임의의 <math>i \in J</math>에 대해 <math>G_i \in \mathcal{T}</math>이면 <math>\bigcup_{i \in I} G_i \in \mathcal{T}</math>이다. 즉, <math>\mathcal{T}</math>의 원소들의 [[합집합]]이 <math>\mathcal{T}</math>에 속한다. 합한 원소들이 [[유한]], [[가산]]일 필요는 없다. | ||
* <math>i=1, 2, \cdots, n</math>에 대해 <math>G_i \in \mathcal{T}</math>이면 <math>\bigcap_{i=1}^{n} G_{i} \in \mathcal{T}</math>이다<ref>이것은 <math>G_1, G_2 \in \mathcal{T}</math>에 대하여 <math>G_1 \cap G_2 \in \mathcal{T}</math>와 동치이다. (두 교집합에 대해서 성립)</ref>. 즉, <math>\mathcal{T}</math>의 원소들의 유한 [[교집합]]이 <math>\mathcal{T}</math>에 속한다. | * <math>i=1, 2, \cdots, n</math>에 대해 <math>G_i \in \mathcal{T}</math>이면 <math>\bigcap_{i=1}^{n} G_{i} \in \mathcal{T}</math>이다<ref>이것은 <math>G_1, G_2 \in \mathcal{T}</math>에 대하여 <math>G_1 \cap G_2 \in \mathcal{T}</math>와 동치이다. (두 교집합에 대해서 성립)</ref>. 즉, <math>\mathcal{T}</math>의 원소들의 유한 [[교집합]]이 <math>\mathcal{T}</math>에 속한다. | ||
위상은 위상공간 <math>X</math>의 부분집합의 위 조건을 만족하는 집합족이며 위상의 원소들을 [[열린 집합]], 열린 | 위상은 위상공간 <math>X</math>의 부분집합의 위 조건을 만족하는 집합족이며 위상의 원소들을 [[열린 집합]], 여집합이 열린 집합을 [[닫힌 집합]]이라 정의한다. 또한 <math>X</math>의 임의의 원소 <math>x</math>에 대하여, <math>x</math>의 [[근방]]을 <math>x</math>를 포함하는 임의의 열린 집합으로 정의한다. 또한 집합 <math>U</math>의 [[폐포]]는 <math>U</math>와 서로소(disjoint)인 모든 열린 집합의 [[여집합]]의 [[교집합]]으로 정의되며, [[내부]](interior)는 <math>U</math>의 모든 부분 열린집합의 합집합으로 정의된다. | ||
위와 같이 열린 집합(또는 근방, 닫힌 집합, 폐포, 내부)이 무엇인지 정의하지 않으면 나머지는 그를 이용하여 정의할 수 있다. 나머지를 이용한 다른 (위와 동치인) 정의는 다음 단락에 서술한다. | 위와 같이 열린 집합(또는 근방, 닫힌 집합, 폐포, 내부)이 무엇인지 정의하지 않으면 나머지는 그를 이용하여 정의할 수 있다. 나머지를 이용한 다른 (위와 동치인) 정의는 다음 단락에 서술한다. | ||
<math>\mathcal{T}</math>는 경우에 따라 관심 대상이 아닌 경우도 있다. 이때는 위상을 생략하여 <math>X</math>로만 나타낸다. | <math>\mathcal{T}</math>는 경우에 따라 관심 대상이 아닌 경우도 있다. 이때는 위상을 생략하여 <math>X</math>로만 나타낸다. | ||
=== 다른 정의 === | |||
== 위상의 종류 == | == 위상의 종류 == | ||
위상이란 결국에는 '어떤 집합이 열린 집합이냐?'를 정의하는 것이다. 가장 간단하게 생각할 수 있는 것으로 실수에서 <math>(0,1), (1,2)</math> 같은 열린 구간을 생각할 수 있다. 이런 열린 구간들의 합집합들만 열린 집합으로 정의하는 것이 '''보통위상'''(usual topology)이다. | |||
어떤 집합 <math>X</math>의 멱집합 <math>\mathcal P(X)</math>의 원소를 모두 열린 집합으로 보는 위상을 '''이산위상'''(discrete topology)라 한다. 그렇다면 공집합과 <math>X</math> 두 개만을 열린 집합으로 정의하는 위상도 있는데 이를 '''비이산위상'''(indiscrete topology) 혹은 '''자명한 위상'''(trivial topology)라 한다. | |||
[[ | 위상을 <math>\mathcal{T}= \left\{ U \subset X | X \setminus U \right\} \cup \left\{ \emptyset \right\} </math>로 하자. 이때 <math>X \setminus U</math>를 유한집합이라 하면 '''여유한위상'''(cofinite topology, finite complement topology)<s>여유로운 위상이 아니다</s>가 되고 가산집합이라 하면 '''여가산위상'''(cocountable topology, countable complement topology)라 한다. 여유한위상은 [[여집합]]이 유한집합이면 열린 집합, 여가산위상은 가산집합이면 열린 집합이라 보겠다는 것이다. 기묘하게 보이는 정의겠지만 위상의 정의에 의해 조건을 맞춰보면 다 성립한다. | ||