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[[페르마의 소정리]]에 의해 <math>x^{p-1}-1</math>이 법 <math>p</math>에 대해 <math>p-1</math>개의 근을 가짐은 쉽게 보일 수 있다. 더욱이, 이 근은 <math>x^d-1</math>의 근이거나 <math>g\left(x\right)</math>의 근이기도 하다. 라그랑주의 정리에 의해 <math>g\left(x\right)</math>는 최대 <math>d\left(e-1\right)=de-d=p-d-1</math>개의 근을 가진다. 따라서, <math>x^d-1</math>는 최소한 <math>\left(p-1\right)-\left(p-d-1\right)=d</math>개의 근을 가진다. 한편, 라그랑주의 정리에 의해 <math>x^d-1</math>는 최대 <math>d</math>개의 근을 가진다. 따라서, <math>x^d-1</math>는 정확히 <math>d</math>개의 근을 가진다. *<math>p</math>를 소수, <math>d</math>를 <math>p-1</math>의 약수라 가정하자. 또한, <math>F\left(d\right)</math>를 <math>p</math>보다 작은 양의 정수 중에 [[위수 (정수론)|위수]]가 <math>d</math>인 것의 개수라 하자. 그럼, <math>F\left(d\right)=0</math>이거나 <math>F\left(d\right)=\phi\left(d\right)</math>이다 (<math>\phi\left(d\right)</math>는 [[오일러 피 함수]]). **만약 <math>F\left(d\right)=0</math>이면, 명제는 당연히 참이다. <math>F\left(d\right)>0</math>이라 가정하면, 적당한 정수 <math>a</math>에 대해 <math>\operatorname{ord}_pa=d</math>이다. 그럼, <math>A=\left\{a,a^2,\cdots,a^d\right\}</math>의 원소는 법 <math>p</math>에 대해 모두 다르다. 더욱이, <math>\left(a^k\right)^d\equiv\left(a^d\right)^k\equiv1^k\equiv1\pmod p</math>이므로, <math>a^k</math>는 <math>x^d\equiv1\pmod p</math>의 근이다. 위 정리에 의해 <math>x^d\equiv1\pmod p</math>를 만족하는 근은 정확히 <math>d</math>개 있고, <math>A</math>의 원소의 개수 역시 <math>d</math>이므로 <math>A</math>는 <math>x^d\equiv1\pmod p</math>의 모든 근을 포함하고 있다. 한편, <math>\operatorname{ord}_pa^k=\frac{\operatorname{ord}_pa}{\gcd\left(k,d\right)}=\frac{d}{\gcd\left(k,d\right)}</math>이고, <math>\gcd\left(k,d\right)=1</math>일 때만 <math>\operatorname{ord}_pa^k=d</math>이 성립한다. 이를 만족하는 <math>k</math>의 개수는 <math>\phi\left(d\right)</math>개 이고, 이는 곧 <math>F\left(d\right)=\phi\left(d\right)</math>임을 보인다. *이제 위 정리의 따름정리가 <math>p</math>의 원시근의 존재를 보장해준다. <math>p-1\mid p-1</math>이므로 위 정리에 의해 <math>\operatorname{ord}_pa=p-1</math>를 만족하는 정수 <math>a</math>가 (<math>\phi\left(p-1\right)</math>개) 존재하기 때문. {{ㅊ|이게 어딜봐서 약간의 사전 지식이냐.}} *지나가던 행인 : 위의 "만약 <math>F\left(d\right)=0</math>이면, 명제는 당연히 참이다." 는 <math>\sum_{d\mid p-1}\phi\left(d\right)=p-1</math> 때문인듯. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț