로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 정의 == '''와그스태프 수'''(Wagstaff number)는 <math>\displaystyle W_n = \frac{2^n+1}{3}\; (n=2k-1,\ k \in \mathbb{N})</math> 꼴로 표현되는 자연수이다. '''와그스태프 소수'''(Wagstaff prime)는 와그스태프 수 중 [[소수]]인 경우를 말한다. 이름은 미국의 수학자 사무엘 와그스태프(Samuel S. Wagstaff Jr.)에게서 따온 것이다. <math>W_n</math>이 정수이려면 <math>2^n+1</math>은 3의 배수가 되어야 하고, 이에 따라 <math>n</math>은 홀수 자연수가 되어야 한다. [[메르센 수]]에서는 2의 지수가 임의의 자연수이면 되지만 여기서는 지수가 홀수인 경우만을 다룬다. 처음 10개 와그스태프 소수의 값은 아래와 같다. *3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796023, 715827883, 2932031007403, … == 성질 == 홀수 <math>n</math>에 대해 <math>\displaystyle W_n = \frac{2^{2n}-1}{3(2^n-1)} = \frac{M_{2n}}{M_2 M_n}</math>과 같이 메르센 수의 비로 나타낼 수 있다. 와그스태프 수는 <math>\displaystyle W_n= 2^{n-1}-2^{n-2}+\cdots-2+1</math> 꼴로 나타낼 수 있다. 메르센 수에서는 부호가 모두 +이지만 이쪽은 ± 부호가 번갈아 나타난다. [[이진법]]으로 표현하면 1010…101011<sub>(2)</sub> 꼴로, 끝의 두 자리만 빼고 '10'이 번갈아 나타나며 전체 <math>n-1</math>자릿수이다. 또한 두 부류는 홀수 지수에 대해 각각 <math>M_n=\frac{2^n-1}{2-1},\ W_n=\frac{(-2)^n-1}{(-2)-1}</math>과 같이 쓸 수도 있으며, 일부 부호만 살짝 다를 뿐 형태는 거의 비슷하다. 더불어 아래 여러 성질은 [[메르센 소수]] 문서의 성질과 함께 보면 닮은 점이 많다. 사실상 메르센 수와 쌍둥이인 셈. === 기본 성질 === #와그스태프 수 <math>\displaystyle W_n=\frac{2^n+1}{3}</math>이 소수이면 <math>\displaystyle n</math>도 소수이다. #*'''증명''': 홀수 <math>\displaystyle n</math>이 소수가 아니라면, <math>\displaystyle n=ab,\ 3 \le a,b < n</math>인 홀수 약수 <math>a, b</math>가 존재한다. <math>\displaystyle 2^a=x</math>로 치환하면 <math>\displaystyle x\ge 8, W_n = \frac{2^{ab}+1}{3} = \frac{x^b+1}{3} = \frac{x+1}{3} \cdot (x^{b-1} - x^{b-2} +\cdots - x+1)</math>과 같이 쓸 수 있다. 여기서 <math>a</math>는 홀수이므로 <math>x+1=2^a+1</math>은 3의 배수이다. 따라서 <math>\displaystyle \frac{x+1}{3} \mid W_n</math>이다. 그런데 <math>\displaystyle 3 \le \frac{x+1}{3} < W_n</math>이므로 <math>W_n</math>은 소수가 아니다. #*메르센 수와 마찬가지로 위 명제의 역은 성립하지 않는다. 지수가 소수여도 와그스태프 수는 합성수인 경우가 더 많다. 가령 29는 소수이지만 <math>W_{29}=178956971= 29\cdot 3033169</math>이다. #<math>n</math>이 3 이상의 홀수일 때, <math>W_n</math>을 40으로 나눈 나머지는 3 또는 11이다. (즉 십진법으로 쓸 때 일의 자리수는 1 또는 3이다.) #*'''증명''': <math>\displaystyle 2^7\equiv 2^3 \pmod{120}</math>이므로 임의의 자연수 <math>k</math>에 대해 <math>\displaystyle 2^{4k+3}\equiv 8 \pmod{120},\ 2^{4k+1}\equiv 32 \pmod{120}</math>가 성립한다. <math>n \equiv 3 \pmod 4 </math>이면 <math>\displaystyle 2^n \equiv 8 \pmod{120} \Leftrightarrow 3W_n \equiv 9 \pmod{120}</math>이고, <math>n \equiv 1 \pmod 4,\ n \ge 5</math>이면 <math>\displaystyle 2^n \equiv 32 \pmod{120} \Leftrightarrow 3W_n \equiv 33 \pmod{120}</math>이다. 각 식의 양 변을 3으로 나누면 <math>W_n \equiv 3\ \text{or}\ 11 \pmod{40}</math>이 된다. #서로 다른 3 이상의 소수 <math>p,q</math>에 대해 <math>W_p,W_q</math>는 [[서로소]]이다. #*'''증명''': 먼저 <math>2^{2p}-1, 2^{2q}-1</math>의 최대공약수는 <math>2^{\gcd(2p,2q)}-1 = 2^2-1 = 3</math>이다. 한편 <math>2^{2p}-1=3W_p(2^p-1),\ 2^{2q}-1=3W_q(2^q-1)</math>에서 <math>2^p-1, 2^q-1</math>는 2의 지수가 홀수이므로 3을 약수로 가지지 않는다. 그러므로 <math>\displaystyle \gcd \left(3W_p,3W_q \right) = 3</math>이다. 따라서 <math>W_p,W_q</math>의 최대공약수는 1이다. === 약수 관련 성질 === #<math>\displaystyle p</math>가 5 이상의 소수일 때, 와그스태프 수 <math>\displaystyle W_p</math>의 약수는 항상 <math>\displaystyle 2kp+1,\,k\in\mathbb{Z}^+</math>의 형태이다. #*'''증명''': <math>\displaystyle q</math>를 <math>\displaystyle W_p=\frac{2^p+1}{3}</math>의 소인수라 가정하자. <math>p \ge 5</math>이면 <math>\gcd(W_3,W_p)=\gcd(3,W_p)=1</math>이므로 <math>W_p</math>는 3의 배수가 아니며, 이는 곧 <math>q</math>는 3보다 커야 함을 뜻한다. 또한 [[페르마의 소정리]]에 의해 <math>\displaystyle 2^{q-1} \equiv 1 \pmod q</math>이며, <math>\displaystyle q \mid 2^{q-1}-1</math>이라 쓸 수 있다. 한편 가정에 따라 <math>\displaystyle q \mid 2^p+1</math>, 즉 <math>\displaystyle q \mid 2^{2p}-1</math>도 성립한다. 그러므로 <math>\displaystyle q\mid\gcd\left(2^{q-1}-1,2^{2p}-1\right)</math>이며, [[유클리드 호제법]]으로 <math>\displaystyle q \mid 2^{\gcd(q-1,p)}-1</math>과 같이 쓸 수 있다. 이때 <math>\displaystyle p</math>는 소수이고 <math>q-1</math>은 짝수이므로, <math>\displaystyle \gcd(q-1,2p)</math>는 2 또는 <math>\displaystyle 2p</math>이다. 만약 최대공약수가 2이면, <math>\displaystyle q \mid 2^{\gcd(q-1,2p)}-1=2^2-1=3</math>이므로, 앞서 알아본 <math>\displaystyle q>3</math>이라는 조건과 모순이다. 따라서 <math>\displaystyle \gcd\left(q-1,2p\right)=2p</math>이고, <math>\displaystyle 2p\mid q-1</math>이다. 곧, 적당한 양의 [[정수]] <math>\displaystyle k</math>에 대해 <math>\displaystyle q=2kp+1</math>이다. 아울러 <math>\displaystyle W_p</math>의 모든 약수는 해당 수의 소인수 일부의 곱이고, 임의의 소인수는 <math>\displaystyle q_i=2kp+1</math> 꼴이므로, 저 형태를 가진 소인수를 곱한 임의의 약수도 같은 형태이다. #* 예: <math>W_{59} = 2833 \cdot 37171 \cdot 1824726041</math>의 각 소인수들은 <math>p=59,\ k=24, 315, 15463780</math>에 대응한다. #<math>n</math>이 홀수일 때, <math>W_n</math>의 약수를 8로 나눈 나머지는 1 또는 3이다. (이때 <math>n</math>이 소수일 필요는 없다) #*'''증명''': <math>W_n</math>의 소인수 <math>q</math>를 가정하자. 그러면 <math>q \mid 3W_n=2^n+1</math>이므로 <math>\displaystyle 2^n \equiv -1 \pmod q</math>가 성립한다. 여기서 양변에 2를 곱하면 <math>\displaystyle 2^{n+1} \equiv -2 \pmod q</math>이다. 이 식에서 좌변은 2의 지수가 짝수이므로 [[제곱수]]이며, <math>\displaystyle 2^{\frac{n+1}{2}}=x</math>라 하면 <math>\displaystyle x^2 \equiv -2 \pmod q</math>가 된다. 다시 말해 -2는 법 <math>q</math>에 대한 [[이차잉여]]이며, 이를 만족하는 <math>q</math>의 조건은 <math>q \equiv 1\ \text{or}\ 3 \pmod 8</math>이다. 또한 어떤 <math>W_n</math>의 약수 <math>r</math>를 <math>r=q_1 q_2 \cdots q_k</math>와 같이 소인수<math>q_j (1\le j \le k)</math>의 곱으로 쓸 때, 소인수들 중 8로 나눈 나머지가 3인 항이 짝수 개이면 <math>r \equiv 1 \pmod 8</math>이며 홀수 개이면 <math>r \equiv 3 \pmod 8</math>이다. 따라서 모든 <math>W_n</math>의 약수를 8로 나눈 나머지는 1 또는 3이다. #* 예: <math>W_{37} = 1777 \cdot 25781083</math> 에서 각 소인수를 8로 나눈 나머지는 각각 1, 3이다. #소수 <math>p</math>가 [[소피 제르맹 소수]]이고 4로 나눈 나머지가 1이면 <math>2p+1</math>은 <math>W_p</math>의 약수이다. #*'''증명''': <math>p</math>가 소피 제르맹 소수이면 <math>2p+1</math>도 소수이다. 또한 <math>p \equiv 1 \pmod 4</math>이면 <math>2p+1 \equiv 3 \pmod 8</math>이므로, 2는 법 <math>2p+1</math>에 대한 이차잉여가 아니다. 즉 [[오일러의 규준]]에 따르면 <math>\displaystyle 2^{\frac{(2p+1)-1}{2}} \equiv -1 \pmod{2p+1}</math>이 성립한다. 간단히 정리하면 <math>\displaystyle 2^p \equiv -1 \pmod{2p+1}</math>이고, <math>\displaystyle 2p+1 \mid 2^p+1</math>을 만족한다. 따라서 <math>2p+1 \mid W_p</math> #* 예: <math>\displaystyle 11 \mid W_{5}(=11),\ 59 \mid W_{29},\ 83 \mid W_{41},\ 3947 \mid W_{1973},\ 4139 \mid W_{2069}</math> #* 참고: <math>p</math>가 소피 제르맹 소수이면 페르마의 소정리에 따라 <math>2^{2p} \equiv 1 \pmod{2p+1}</math> 즉 <math>2p+1 \mid 2^{2p}-1 = 3M_pW_p</math>이다. <math>p</math>를 4로 나눈 나머지가 1이면 <math>2p+1 \mid W_p</math>, 나머지가 3이면 <math>2p+1 \mid M_p</math>이다. === 메르센 수와 성질 비교 === 이상 알아본 성질들을 메르센 수와 견주어보면 아래 표와 같이 정리할 수 있다. 여기서 <math>p</math>는 3 이상의 소수이다. {| class="wikitable" ! 정의 ! <math>\displaystyle M_p=2^p-1</math> ! <math>\displaystyle W_p=\frac{2^p+1}{3}</math> |- | 알려진 소수 (2021년 12월까지) | 51개 | 32개 |- | 등비급수 표현 | <math>\displaystyle M_p=\sum_{k=0}^{p-1}2^k</math> | <math>\displaystyle W_p=\sum_{k=0}^{p-1}(-2)^k</math> |- | [[뤼카 수열]] 표현 | <math>\displaystyle M_p=U_p(1,-2)</math> | <math>\displaystyle W_p=V_p(1,-2)</math> |- | 일의 자리수(십진법) | 1 또는 7 | 1 또는 3 |- | <math>p,q</math>가 서로소일 때 | <math>M_p,M_q</math>는 서로소 | <math>W_p,W_q</math>는 서로소 |- | 약수와 <math>p</math>의 관계 | <math>q=2kp+1(p\ge 3)</math> | <math>q=2kp+1(p\ge 5)</math> |- | 약수를 8로 나눈 나머지 | 1 또는 7 | 1 또는 3 |- | <math>p</math>가 소피 제르맹 소수일 때 | <math>p \equiv 3 \pmod 4</math>이면 <math>2p+1 \mid M_p</math> | <math>p \equiv 1 \pmod 4</math>이면 <math>2p+1 \mid W_p</math> |} == 소수 찾기 == 와그스태프 수는 메르센 수와 달리 20세기 말에 와서야 성질 탐구와 소수 찾기가 이루어졌다. 사실 위 정의와 성질만 보면 그저 메르센 소수의 변형 정도로 보이겠지만 아래 '신 메르센 추측'과 관련이 있다는 점에서 나름 의미는 있다. 메르센 소수의 경우 [[뤼카-레머 소수판정법]]이라는 유용한 정리 덕에 2의 1억 제곱 규모의 수를 검사할 수 있고, 2021년 현재까지 51개가 발견되었다. 하지만 와그스태프 소수는 이에 대응하는 빠른 검사법이 현재 알려지지 않았다. 대부분은 일반적인 자연수에 적용하는 [[타원곡선 소수판정법]]으로 확인하고 있으며, 그마저도 2의 12만 제곱 범위까지 소수임을 검증해 냈다. 2의 12만 제곱 이상의 수들은 [[유력 소수]] 여부는 알고 있지만 이들이 확실한 소수인지는 아직 모른다. 와그스태프 소수 후보를 확인하는 방법으로 아래 정리가 있다. : 어떤 소수 <math>p</math>에 대해 <math>W_p</math>가 소수이면, <math>25^{2^{p-1}} \equiv 25 \pmod{2^p+1}</math>가 성립한다. 하지만 위 정리의 역은 알 수 없다. 다만 위 정리를 만족하지 않으면 소수가 아니라는 것이 확실하므로, 소수 후보를 상당수 걸러낼 수는 있다. 2013년 프랑스의 수학자인 토니 레이(Tony Reix)는 뤼카-레머 소수판정법의 변형으로 아래 추측을 내놓았다.<ref>[https://mersenneforum.org/showthread.php?t=18657 mersenneforum - 500€ Reward for a proof for the Wagstaff primality test conjecture, posted by Tony Reix]</ref> * <math>\displaystyle N_p=2^p+1,W_p=\frac{N_p}{3}</math>이라 하자. 그 다음 <math>\displaystyle \begin{cases}S_0 = 1/4 \mod{N_q} \\ S_{i+1} = s_i^2-2 \mod{N_q} \end{cases}</math> 로 정의되는 수열이 있다. * <math>W_p</math>가 소수이면 <math>S_{p-1} \equiv S_0 \pmod{W_q}</math>가 성립한다. (증명됨) * 그렇다면 반대로 <math>S_{p-1} \equiv S_0 \pmod{W_q}</math>이고, <math>0<i<p-1</math>인 모든 항에 대해 <math>S_i \not \equiv S_0 \pmod{W_q}</math>이면 <math>W_p</math>는 소수임을 보여라. 둘째 줄의 조건을 만족하는 수를 브르바-레이 유력 소수(Vrba-Reix PRP)라 부르고 있다. 제시된 조건은 초깃값을 <math>S_0=6</math>으로 잡고 합동식을 <math>S_p \equiv S_2 \pmod{W_p}</math>로 바꾸어도 된다. 셋째 줄의 문제를 증명 시 상금으로 500 유로가 걸려 있다. 현재까지 증명한 사람은 나오지 않았으며, 만약 문제가 풀리면 아래 목록의 유력 소수들은 전부 소수로 확정된다. == 신 메르센 추측 == [[메르센 소수]]의 경우 처음에는 [[마랭 메르센]]이 아래와 같은 추측을 제시한 적이 있다. * <math>p\le 257</math>일 때, <math>M_p</math>가 소수가 되는 <math>p</math>의 값은 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257이다. 실제로는 <math>M_{61},M_{89},M_{107}</math>은 소수이고, <math>M_{67},M_{257}</math>은 소수가 아니라는 것이 판명났다. 비록 메르센의 추측은 반증되었지만, 이것을 변형한 새 추측이 1989년에 나왔다. 이를 신 메르센 소수(New Mersenne conjecture) 또는 베이트만-셀프릿지-와그스태프 추측(Bateman-Selfridge-Wagstaff conjecture)이라 부른다. 그 내용은 아래와 같다.<ref>[https://primes.utm.edu/mersenne/NewMersenneConjecture.html PrimePages - The New Mersenne Prime Conjecture]</ref> <math>p</math>가 소수일 때, 아래 세 명제 중 둘이 참이면 나머지 하나도 참이어야 한다.<ref>달리 말하면 주어진 세 명제 중 셋 다 거짓이거나, 셋 다 참이거나, 셋 중 하나만 참이어야 한다는 뜻</ref> # 적당한 자연수 <math>k</math>가 존재하여 <math>p=2^k\pm 1</math> 또는 <math>p=4^k\pm 3</math> 꼴로 표현된다. # 메르센 수 <math>M_p</math>는 소수이다. # 와그스태프 수 <math>W_p</math>는 소수이다. 현재까지는 셋 중 둘만 참인 예는 전혀 나오지 않았다. 아래는 <math>p < 10^5</math> 범위에서 소수들을 분류한 것이다. * 세 명제 모두 참: 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 * 첫째 명제만 참: 67, 257, 1021, 4093, 4099, 8191, 16381, 65537, 65539 * 둘째 명제만 참: 89, 107, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243 * 셋째 명제만 참: 11, 23, 43, 79, 101, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369 * 세 명제 모두 거짓: 위의 소수들을 제외한 전부 첫째 명제가 저렇게 세워진 것은 처음 제시된 메르센의 추측과 관련이 있다. 메르센이 제시한 소수는 모두 <math>p=2^k\pm 1</math> 내지는 <math>p=4^k\pm 3</math> 형태를 하고 있기에, 메르센 본인도 이 기준으로 수를 적었을 것이라 유추가 된다. 그런데 이게 사실이라면, <math>61=4^3-3</math>인데 왜 61이 누락되었는 지는 의문. 당시에는 <math>M_{19}</math>까지만 확실하게 알고 있었고 <math>M_{61}</math>이 소수하는 사실은 몰랐다. == 와그스태프 소수 목록 == 2022년 8월 17일까지 발견된 와그스태프 소수는 모두 33개, 유력 소수는 11개이다. 확정된 소수 중 가장 큰 항은 <math>W_{117239}</math>이다. 유력 소수까지 포함하면 44번째 항인 <math>W_{15135397}</math>까지 알려졌다. 현재까지는 2의 1000만 제곱 이하로는 유력 소수 검사가 끝난 상태이다. 즉 아래 목록에 없는 1000만 이하의 소수 지수는 와그스태프 소수 후보에서 모두 제외되었다.<ref>[https://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=24185 mersenneforum.org - There are no new Wagstaff primes with exponent below 10 million, posted by Gord Palameta]</ref> 와그스태프 소수는 20세기 말에 이르러서야 연구 대상이 되었기에 발견 연도나 발견자 관련 정보는 얼마 되지 않는다. 아래 표에서 33번째까지가 확정된 소수이며, ? 표시된 34~44번째는 아직 소수로 확정되지 않은 유력 소수이다. {| class="wikitable" ! 순서 ! <math>\displaystyle p</math> ! 자리수 ! 발견 일시 및 발견자 |- | 1 | 3 | 1 | |- | 2 | 5 | 2 | |- | 3 | 7 | 2 | |- | 4 | 11 | 3 | |- | 5 | 13 | 4 | |- | 6 | 17 | 5 | |- | 7 | 19 | 6 | |- | 8 | 23 | 7 | |- | 9 | 31 | 9 | |- | 10 | 43 | 13 | |- | 11 | 61 | 18 | |- | 12 | 79 | 24 | |- | 13 | 101 | 30 | |- | 14 | 127 | 38 | |- | 15 | 167 | 50 | |- | 16 | 191 | 58 | |- | 17 | 199 | 60 | |- | 18 | 313 | 94 | |- | 19 | 347 | 104 | |- | 20 | 701 | 211 | |- | 21 | 1709 | 514 | |- | 22 | 2617 | 788 | |- | 23 | 3539 | 1065 | 1989년 12월 (확정) |- | 24 | 5807 | 1748 | 1998년 12월 (확정) |- | 25 | 10501 | 3161 | 1996년 5월 (확정) |- | 26 | 10691 | 3218 | 2004년 10월 (확정) |- | 27 | 11279 | 3395 | 1998년 1월 (확정) |- | 28 | 12391 | 3730 | 1996년 5월 (확정) |- | 29 | 14479 | 4359 | 2004년 11월 (확정) |- | 30 | 42737 | 12865 | 2007년 8월 (확정) |- | 31 | 83339 | 25088 | 2014년 9월 (확정) |- | 32 | 95369 | 28709 | 2021년 8월 (확정) |- | 33 | 117239 | 35292 | 2022년 8월 (확정) |- | 34? | 127031 | 38240 | |- | 35? | 138937 | 41824 | |- | 36? | 141079 | 42469 | |- | 37? | 267017 | 80380 | |- | 38? | 269987 | 81274 | |- | 39? | 374321 | 112682 | |- | 40? | 986191 | 296873 | 2008년, Vincent Diepeveen (유력) |- | 41? | 4031399 | 1213572 | 2010년 2월, Anton Vrba, Tony Reix (유력) |- | 42? | 13347311 | 4017941 | 2013년 9월, Ryan Propper<ref name="a">Mersenne Forum, [http://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=18569 New Wagstaff PRP exponents]</ref> (유력) |- | 43? | 13372531 | 4025533 | 2013년 9월, Ryan Propper<ref name="a"/> (유력) |- | 44? | 15135397 | 4556209 | 2021년 6월, Ryan Propper<ref>Mersenne Forum, [https://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=26961 Announcing a new Wagstaff PRP]</ref> (유력) |} == 관련 문서 == * [[메르센 소수]] * [[단위 반복 소수]] {{각주}} {{소수}} [[분류:정수론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:소수 (편집) 틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)