로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.중간의 다른 편집과 충돌하여 이 편집을 되돌릴 수 없습니다. 스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!'''오일러-라그랑주 방정식'''(Euler-Lagrange equation), 또는 '''오일러 방정식'''(Euler's equation)은 [[1744년]] [[레온하르트 오일러]]가 처음으로 유도한 [[방정식]]이다.<ref>{{책 인용|저자=Stephen T. Thornton · Jerry B. Marion|기타=강석태 옮김|제목=일반역학|판=제5판|출판사=Cengage Learning|ISBN=9788962183009}}</ref> <math>f,y,y'</math>에 대해 : <math>\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0</math> 인 것은 [[적분]] : <math>J=\int_{x_1}^{x_2}f\{y(x),y'(x);x\}dx</math> 가 [[극값]]을 가질 [[필요조건]]이다. == 유도 == 정적분 : <math>J=\int_{x_1}^{x_2}f\{y(x),y'(x);x\}dx</math> 에 대해 <math>y=y(x)</math>일 때 ''J''가 극값을 가진다면, <math>\alpha=0</math>일 때 ''J''가 극값을 가지도록 : <math>y(\alpha,x)=y(0,x)+\alpha\eta(x)</math> 를 정의할 수 있다. 그러면 ''J''를 다음과 같이 나타낼 수 있다. : <math>J=\int_{x_1}^{x_2}f\{y(\alpha,x),y'(\alpha,x);x\}dx</math> 양변을 α에 대해 [[편미분]]하면, : <math>\frac{\partial J}{\partial \alpha}=\frac{\partial}{\partial \alpha}\int_{x_1}^{x_2}f\{y(\alpha,x),y'(\alpha,x);x\}dx</math> 이고 따라서 : <math>\frac{\partial J}{\partial \alpha}=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial \alpha}\right)dx</math> 이다. 그러면 : <math>\frac{\partial y}{\partial \alpha}=\eta(x),\;\frac{\partial y'}{\partial \alpha}=\frac{d\eta}{dx}</math> 이므로 : <math>\frac{\partial J}{\partial \alpha}=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\eta(x)+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{d\eta}{dx}\right)dx</math> 이다. 이때 [[부분적분법]]에 의해 : <math>\begin{align} \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{d\eta}{dx}dx&=\left[\frac{\partial f}{\partial y'}\eta(x)\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)dx\\ &=-\int_{x_1}^{x_2}\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)dx \end{align}</math> 이므로 : <math>\begin{align} \frac{\partial J}{\partial \alpha}&=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\eta(x)-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)\right)\\ &=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)dx \end{align}</math> 그러면 임의의 <math>\eta</math>에 대해 : <math>0=\frac{\partial J}{\partial \alpha}\bigg|_{\alpha=0}=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)dx</math> 이므로, : <math>\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0</math> 을 얻는다. == 예 == === 최속강하선 문제 === <math>(0,0)</math>의 위치에 정지해 있는 [[입자]]가 [[중력]]을 받고 마찰없이 <math>(x_1,y_1)</math>로 내려간다고 가정하자. 그러면 입자가 이동한 [[시간]] ''T''는 : <math>T=\int_{(0,0)}^{(x_1,y_1)}\frac{ds}{v}</math> 로 주어진다. 이때 퍼텐셜에너지가 <math>(0,0)</math>에서 0이라고 가정하면, 역학적 에너지는 0이고 보존되므로 : <math>mgy+\frac{1}{2}mv^2=0</math> 이다. 따라서 : <math>v=\sqrt{-2gy}</math> 이다. 그러면 : <math>T=\frac{1}{\sqrt{-2g}}\int_0^{y_1}\sqrt{\frac{1+(\frac{dx}{dy})^2}{y}}dy</math> 이다. 이제 함수 ''f''를 : <math>f\{x(y),x'(y);y\}=\sqrt{\frac{1+x'^2}{y}}</math> 로 정의하자. 이때 : <math>\frac{\partial f}{\partial x}=0</math> 이므로 오일러-라그랑주 방정식은 : <math>\frac{d}{dy}\frac{\partial f}{\partial x'}=0</math> 이다. 따라서 : <math>\frac{\partial f}{\partial x'}=\frac{x'}{\sqrt{y(1+x'^2)}}=c</math> 이다. 이때 ''c''는 상수다. 양변을 제곱해 정리하면 : <math>x'^2=\frac{c^2y}{1-c^2y}</math> 이므로, : <math>x=\int \sqrt{\frac{c^2y}{1-c^2y}}dy</math> 이다. 이때 : <math>y=\frac{1}{2c^2}(1-\cos\theta)</math> 로 치환하면 : <math>x=\frac{1}{2c^2}(\theta-\sin\theta)</math> 가 되고, 이 곡선은 [[사이클로이드]]이다. === 측지선 === {{빈 문단}} == 일반화 == === 함수가 여러 개일 때 === 적분 : <math>J=\int_{x_1}^{x_2}f\{y_1,y'_1,y_2,y'_2,\cdots,\cdots,;x\}</math> 가 주어졌을 때 오일러-라그랑주 방정식은 : <math>\frac{\partial f}{\partial y_i}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'_i}=0</math> 으로 주어진다. === 변수가 여러 개일 때 === {{빈 문단}} === 구속조건이 주어졌을 때 === {{빈 문단}} {{각주}} [[분류:물리학 정리]] [[분류:방정식]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ISBN (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:빈 문단 (원본 보기) (준보호됨)틀:서적 인용 (편집) 틀:책 인용 (편집)