연역논증

정언논리

정언논리체계는 ‘정언명제’로 이루어진 논리체계를 말한다. 예를들면 “모든 철학자는 과학자이다”와 같은 형식으로 표현되는 명제이다

정언명체의 4가지 표준형식

정언명제는 포함과 배제의 방식에 따라 4자지 형식 (전칭긍정명제, 전칭부정명제, 특칭긍정명제, 특칭부정명제)으로 구분이 된다. 전칭긍정명제와 특칭긍벙명제는 라틴어의 긍정을 뜻하는 ‘affirmo’에서 A와 I를 전칭부정명제와 특칭부정명제는 부정을 뜻하는 라틴어 ‘nego’에서 E와 O를 취하여 A, E, I, O 유형으로 구분한다.

정언명제	양	질	명제의 유형
모든 S는 P이다	전칭	긍정	A
모든 S는 P가 아니다	전칭	부정	E
어떤 S는 P이다	특칭	긍정	I
어떤 S는 P가 아니다	특칭	부정	O

그런데 우리가 일상적으로 쓰는 명제들은 이런 표준형식으로 되어있지 않으므로 명제들을 정언논리체계로 다루려면 우선 표준형식으로 바꿔야 한다. 그렇지 않으면 타당성을 검사하는 작업을 제대로 할 수 없게된다.

전칭긍정명제(A명제)

모든 S는 P이다 의 형식이 대표적인 표현이다. 예를들어 철학자를 S로 진리를 탐구하는 사람을 P로 두면 “모든 철학자는 진리를 탐구하는 사람이다”라는 전칭긍정명제가 된다.

전칭긍정명제로의 환원

사람은 양심이 있다. -> 모든 사람은 양심을 가진 존재이다.

철은 전류가 흐른다. -> 모든 철로 된 것은 전기가 흐른다.

전칭부정명제(E명제)

모든 S는 P가 아니다 라는 형식이 표준형이지만 이 표현은 다의적이기 때문에 어느(어떤) S도 P가 아니다는 형식으로 바꾸는게 좋다. 가령 “모든 서울사람은 경상도 출신이 아니다”와 “모든 여학생은 남자가 아니다”라는 두 명제를 비교하면 둘다 같은 형식이지만 내용은 다르다. “모든 서울사람은 경상도 출신이 아니다”는 서울사람 중에 경상도 출신이 하나도 없다는 해석과 서울사람 모두가 경상도 출신이라고 해석할수 있다. “모든 여학생은 남자가 아니다”라는 표현은 여학생 에는 남자가 하나도 없다 라는 뜻으로 해석된다. 따라서 오해가 없도록 정확하게 표현하면 “어느(어떤) 여학생도 남자가 아니다”라고 해야하며 마찮가지로 “어느(어떤) 서울 사람도 경상도 출신이 아니다”라고 표현해야 정확한 전칭부정명제의 형식이다.

전칭부정명제로의 환원

소금은 쓴맛이 나지 않는다. -> 어느 소금도 쓴 것은 아니다

거짓말을 하는 목사는 없다. -> 어느 목사도 거짓말을 하는 사람이 아니다.

특칭긍정명제(I명제)

어떤 S는 P이다 의 형식이 표준형이다. 예를 들면 “어떤 교수는 무신론자이다”와 같은 명제가 특칭긍정명제이다.

특칭긍정명제로의 환원

의사는 친절하다. -> 어떤 의사는 친절한 의사이다.

몇몇 사람을 제외하고는 모두가 그를 탄핵했다. -> 어떤 사람은 그를 탄핵한 사람이다.

특칭부정명제(O명제)

어떤 S는 P가 아니다 가 표준형이다. 전칭부정명제에서 언급한것처럼 “모든 서울 사람은 경상도 출신이 아니다”는 서울사람 모두를 부정하는 것이 아니므로 특칭부정명제로 보는 것이 옳다.

특칭부정명제로의 환원

도덕적이지 않은 정치인들도 있다. -> 어떤 정치인들은 도덕적이지 못하다.

반짝인다고 모두 금은 아니다. -> 어떤 반짝이는 것은 금이 아니다.

정언 논증(삼단논법)

일반적으로 연역논증이라 하면 대부분 삼단논법을 먼저 생각할정도로 삼단논법은 가장 기본적인 추론 형식이다. 삼단논법은 두 개의 전제와 하나의 결론으로 구성된, 즉 세 개의 기본적인 명제를 가진 연역 추리이다. 삼단이라고 하는 것은 두 개의 명제(전제)로부터 세번째의 명제(결론)을 이끌어 내기 때문이다. 삼단논법에는 여러 가지 종류가 있지만, 앞서 설명한 A, E, I, O 형식으로 표현되는 정언명제들로만 이루어진 삼단논법을 정언적 삼단논법 이라 한다. 이 정언적 삼단논법은 세개의 명제를 가져야만 하고, 세가지 명사만을 가져야 한다.

(1)모든 음악가는 예술가이다 (2)모든 가수는 음악가이다 따라서 (3)모든 가수는 예술가이다

이 예에서는 세 개의 명사 – ‘음악가’, ‘예술가’, ‘가수’ – 가 사용되었고 세개의 명제 – “모든 음악가는 예술가이다.”, “모든 가수는 음악가이다.”, “모든 가수는 예술가이다.” – 로 구성되어 있다.

명제논리

연역 논증의 타당성은 논증을 구성하고 있는 진술들의 내용에 의해서가 아니라 논증의 형식 즉 형식 논리에 의해 결정된다. 타당한 논증은 타당한 형식을 갖는 논증으로 전제들이 모두 참이라면 결론또한 참일 수 밖에 없는 논증이다. 다시 말하면 타당한 논증에서는 전제가 모두 참일경우 결론의 참이 절대적으로 보장된다. 반명, 부당한 논증은 전제들이 모두 참일지라도 반드시 결론의 참이 보장되지 않는다. 명제 논리의 체계는 논증의 타당성 여부를 쉽고 간단하게 판단하고 평가할 수 있도록 만드는 형식 논리의 체계이다. 일상언어에서는 두 개 이상의 명제들을 연결할 때는 접속사를 사용한다. 명제 논리 체계에서도 명제들을 연결해서 사용하는데 이 명제들을 연결하는 접속사를 ‘논리 연결사’라고 한다. 명제 논리의 가장 기본적인 단위로, 논리 연결사를 포함하지 않은 명제를 단순 명제라고 하며, 단순 명제와 하나 이상의 논리 연결사로 구성되는 명제를 복합 명제라고 한다.

논리 연결사

명제 논리에는 일상 언어의 표현을 위한 가장 기본적인 5개의 논리 연결사가 있다. ‘~’(부정기호), ‘&’(연언 기호), ‘∨’(선언 기호), ‘→’(조건기호), ‘↔’(쌍조건 기호)

논리 연결사	논리적 기능	종류	일상적 표현
~	부정	부정문	~이 아니다
&	연언	연언문	그리고, 그러나, 그럼에도 불구하고
∨	선언	선언문	또는
→	단순함축	조건문	만일~이라면, ~
↔	단순동치	쌍조건문

논리 연결사로 구성된 복합 명제를 만들 때 부정의 기능을 하는 논리 연결사 ‘~’는 항상 그것이 부정하려는 병제 앞에 놓여야 한다. 예를 들면 “그들은 우리집에 왔다.(p)”는 문장을 부정한다고 해보자. 그러면 그 문장의 부정은 ‘~p’로 표현될 수 있다. 또한 괄호로 묶인 복합명제의 경우에는 괄호로 묶인 명제 전체를 부정한다. 예를 들면, “그들은 우리 집에 왔으며, 우리는 그들에게 접대를 했다.(p&q)”는 명제의 부정은 ‘~(p&q)’로 표현한다. 명제 논리에서는 명제가 애매하지 않도록 괄호를 사용한다. 이것은 수학에서 가용하는 방식과 같다. 명제논리에는 여러종류의 괄호로 묶인 복잡한 구조를 가진 복합 명제들이 있다. 이런 복합 명제에서는 두 개 이상의 논리 연결사와 괄호들이 사용되기도 하는데, 이때 주요 부분을 연결해 주는 논리 연결사를 ‘주 논리 연결사’라고 한다. 주 논리 연결사를 중심으로 복잡한 복합 명제는 두 부분으로 구성된다.

자연 연역

논리학에서 논증의 타당성을 검토하는 것은 중요한 일이다. 논증의 타당성을 증명하는 방법중 하나는 자연 연역이다. 자연 연역은 논증의 타당성을 정해진 추론 규칙에 따라서 단계적으로 증명하는 방법이다.

연역 규칙

연역 규칙은 타당한 논증 형식으로 된 규칙, 즉 결론을 전제로부터 이끌어내는 것으로 연역추리의 전형이다. 연역적으로 타당한 논증은 결론이 전제들로부터 연역적으로 도출될 수 있는 논증을 말한다.

전건긍정법

만일 눈이 온다면, 스키를 타러갈 수 있다. 눈이 온다. 스키를 타러갈 수 있다.

이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ p\to q }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline{p \quad\quad} }[/math]

[math]\displaystyle{ q }[/math]

후건부정법

만일 늦게 일어난다면, 너는 지각을 할 것이다. 너는 지각을 하지 않았다. 너는 늦게 일어나지 않았다.

이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ p\to q }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline{\neg q\quad\;\;} }[/math]

[math]\displaystyle{ \neg p }[/math]

선언지제거법

내가 결혼을 하는 것은 꿈이든지 현실이다. 내가 결혼을 하는 것은 꿈이 아니다. 내가 결혼을 하는 것은 현실이다.

이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ p\lor q }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline{\neg p\quad\;\;} }[/math]

[math]\displaystyle{ q }[/math]

가언삼단논법

만일 비가 온다면, 소풍을 가지 않는다. 만일 소풍을 가지 않는다면, 우리는 학교에 가야된다. 만일 비가 온다면, 우리는 학교에 가야된다.

이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ p\to q }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline{q\to r} }[/math]

[math]\displaystyle{ p\to r }[/math]

단순양도논법

나는 혼자 여행을 가든지 도서관에 갈 것이다. 만일 내가 여행을 가면, 나는 외로울 것이다. 만일 내가 도서관에 가면, 나는 외로울 것이다. 나는 외로울 것이다.

이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ p\lor q }[/math]

[math]\displaystyle{ p\to r }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline{q\to r} }[/math]

[math]\displaystyle{ r }[/math]

복합양도논법

나는 결혼을 하든지 독신녀로 살 것이다. 만일 내가 결혼을 한다면, 부모님께서 서운해 하실 것이다. 만일 내가 독신녀로 산다면, 내 남자 친구가 서운해 할 것이다. 부모님께서 서운해 하시든지, 내 남자 친구가 서운해 할 것이다.

이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ p\lor q }[/math]

[math]\displaystyle{ p\to r }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline{q\to s} }[/math]

[math]\displaystyle{ r\lor s }[/math]

간접추리법

만일 이 결혼이 행복한 것이라면, 이 결혼은 행복한 것이 아니다. 이 결혼은 행복한 것이 아니다.

이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \underline{p\to \neg p} }[/math]

[math]\displaystyle{ \neg p }[/math]

귀류법

만일 불치병의 환자가 웃으면, 그 주변사람들은 기쁘면서도 기쁘지 않았다. 불치병의 환자는 웃지 않았다.

이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \underline{p\to(q\land \neg q}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \neg p }[/math]

선언지첨가법

바람이 분다. 바람이 불거나 비가 온다.

이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \underline{p\quad\;\;} }[/math]

[math]\displaystyle{ p\lor q }[/math]

연언화

바람이 분다. 비가 온다. 바람이 불고, 비가 온다.

이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ p }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline{q\quad\;\;} }[/math]

[math]\displaystyle{ p\land q }[/math]

단순화

바람이 불고, 비가 온다. 바람이 분다.

이 논증의 논리적 형식은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \underline{p\land q} }[/math]

[math]\displaystyle{ p }[/math]

논리적 동치

논리적인 동치에 의한 규칙을 말하는 것으로써 논리적으로 동치인 명제를 바꾸는데 사용된다.

이중부정

[math]\displaystyle{ P\equiv \neg \left(\neg p \right) }[/math]

결합규칙

[math]\displaystyle{ \left[p \& \left(q \& r \right) \right] \equiv \left[\left(p \& q \right) \& r \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \left[p \vee \left(p \vee q \right) \& r \right] ===== 한마디법(동어반복) ===== : \lt math\gt \left(p \& p \right)\equiv p }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(p \vee p \right)\equiv p }[/math]

분배규칙

[math]\displaystyle{ \left[q\& left(q \vee r\right)right]\equiv \left[\left(p \& q right) \vee \left(p \& r \right)\right] }[/math]

[math]\displaystyle{ \left[p \vee \left(q \& r \right)\right] \equiv \left[left(p \vee q \right) \& \left( p \vee r \right) \right] }[/math]

조건 증명법과 간접 증명법

연역규칙과 논리적 동치에서 보여준 추론규칙은 주어진 전제로부터 결론의 참을 도출하는것으로 직접 증명법 이라고 한다. 그러나 직접적인 방법으로 쉽지 않은 경우에는 간접적인 방법으로 결론의 참을 밝혀야 하는데, 이 때 사용되는 증명법이 ‘조건 증명법’과 ‘간접 증명법’이다.