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'''연속함수'''(連續函數, Continuous Function)란, 말 그대로 [[함수]]의 그래프가 끊어지지 않고 계속 이어져 있는 함수를 말한다. 물론 이는 [[기하학]]적인 직관을 이용한 설명이고, 실제 [[수학]]적인 정의는 이것과는 다르다. 어떤 함수의 연속성은 [[해석학]]에서 매우 중요하게 다루는 주제이며, [[위상수학]]으로 넘어가서도 위상 공간상의 연속이라는 개념으로 계속 나온다. [[대한민국]]의 수학 교육 과정상, 연속함수는 [[고등학교]]에서 배우게 되지만, 고교 수학이 다 그렇듯이 수학적 엄밀함이 아닌 직관에 의존하여 설명한다. | '''연속함수'''(連續函數, Continuous Function)란, 말 그대로 [[함수 (수학)|함수]]의 그래프가 끊어지지 않고 계속 이어져 있는 함수를 말한다. 물론 이는 [[기하학]]적인 직관을 이용한 설명이고, 실제 [[수학]]적인 정의는 이것과는 다르다. 어떤 함수의 연속성은 [[해석학]]에서 매우 중요하게 다루는 주제이며, [[위상수학]]으로 넘어가서도 위상 공간상의 연속이라는 개념으로 계속 나온다. [[대한민국]]의 수학 교육 과정상, 연속함수는 [[고등학교]]에서 배우게 되지만, 고교 수학이 다 그렇듯이 수학적 엄밀함이 아닌 직관에 의존하여 설명한다. | ||
== 해석학에서 == | == 해석학에서 == | ||
=== 정의 === | === 정의 === | ||
정의역 <math>D</math>의 원소 <math>x_0</math>에 대해, [[함수]] <math>f</math>가 <math>x_0</math>에서 연속이라는 말은, <math>\lim_{x\to x_0}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)</math>이 성립함을 의미한다. [[엡실론-델타 논법]]을 사용하여 설명하면, 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해, 적당한 <math>\delta>0</math>이 존재하여 <math>\left|x-x_0\right|<\delta</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon</math>이 성립함을 의미한다. | 정의역 <math>D</math>의 원소 <math>x_0</math>에 대해, [[함수 (수학)|함수]] <math>f</math>가 <math>x_0</math>에서 연속이라는 말은, <math>\lim_{x\to x_0}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)</math>이 성립함을 의미한다. [[엡실론-델타 논법]]을 사용하여 설명하면, 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해, 적당한 <math>\delta>0</math>이 존재하여 <math>\left|x-x_0\right|<\delta</math>이면 <math>\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon</math>이 성립함을 의미한다. | ||
이 정의는 세 가지 사실을 하나로 함축하고 있다. 고등학교에서는 아래 세 가지 성질을 모두 만족해야 그 점에서 연속인 것으로 가르친다. | 이 정의는 세 가지 사실을 하나로 함축하고 있다. 고등학교에서는 아래 세 가지 성질을 모두 만족해야 그 점에서 연속인 것으로 가르친다. |