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수학에 관심이 있는 사람이라면, '''모든 점에서 불연속'''인 함수가 존재하는지에 대해 생각해 본 적이 있을 것이다. 모든 점에서 불연속인 대표적인 함수는 바로 '''디리클레 함수'''이며, 다음과 같이 정의된다. | 수학에 관심이 있는 사람이라면, '''모든 점에서 불연속'''인 함수가 존재하는지에 대해 생각해 본 적이 있을 것이다. 모든 점에서 불연속인 대표적인 함수는 바로 '''디리클레 함수'''이며, 다음과 같이 정의된다. | ||
:<math>f\left(x\right)=\begin{cases}1,&\text{if }x\in\mathbb{Q}\\0,&\text{if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{cases}</math> | :<math>f\left(x\right)=\begin{cases}1,&\text{if }x\in\mathbb{Q}\\0,&\text{if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{cases}</math> | ||
여기서, 값을 어떻게 주냐에 따라 모든 점에서 불연속인 함수를 무수히 많이 만들 수 있다. 직관적으로 생각하면 이 함수는 모든 점에서 불연속임이 명백해 보인다. 그러나, 집합론적으로 접근하면 상당히 기괴한 결과인데, 유리수의 집합은 [[가산 (집합론)|셀 수 있는 집합]](countable)이며 무리수의 집합은 [[비가산 (집합론)|셀 수 없는 집합]](uncountable)이므로,<ref>자연수의 집합과 농도(cardinality)가 동일한(일대일 대응 함수가 존재하는) 집합은 셀 수 있다고 하고, 자연수의 집합과 농도가 다른(일대일 대응 함수가 존재하지 않는) 무한 집합은 셀 수 없다고 한다. 참고로 자연수의 집합은 무한 집합들 중 가장 농도가 작다.</ref> 무리수의 [[농도 (집합론)|농도]]는 실수 자체의 농도와 동일하다. 즉, 실수체는 거의 전부 무리수로 구성되어 있고, 사이사이에 듬성듬성 유리수가 존재한다는 식의 잘못된 직관을 가질 수 있다. 그러나 구간을 아무리 작게 잡더라도 무리수만으로 구성되는 구간을 특정할 수는 없다. | 여기서, 값을 어떻게 주냐에 따라 모든 점에서 불연속인 함수를 무수히 많이 만들 수 있다. 직관적으로 생각하면 이 함수는 모든 점에서 불연속임이 명백해 보인다. 그러나, 집합론적으로 접근하면 상당히 기괴한 결과인데, 유리수의 집합은 [[가산 (집합론)|셀 수 있는 집합]](countable)이며 무리수의 집합은 [[비가산 (집합론)|셀 수 없는 집합]](uncountable)이므로,<ref>자연수의 집합과 농도(cardinality)가 동일한(일대일 대응 함수가 존재하는) 집합은 셀 수 있다고 하고, 자연수의 집합과 농도가 다른(일대일 대응 함수가 존재하지 않는) 무한 집합은 셀 수 없다고 한다. 참고로 자연수의 집합은 무한 집합들 중 가장 농도가 작다.</ref> 무리수의 [[농도 (집합론)|농도]]는 실수 자체의 농도와 동일하다. 즉, 실수체는 거의 전부 무리수로 구성되어 있고, 사이사이에 듬성듬성 유리수가 존재한다는 식의 잘못된 직관을 가질 수 있다. 그러나 구간을 아무리 작게 잡더라도 무리수만으로 구성되는 구간을 특정할 수는 없다. | ||
물론, 이 사실 역시 수학적인 증명이 필요하며, 증명은 [[유리수]]와 [[무리수]]의 조밀성을 이용한다. | 물론, 이 사실 역시 수학적인 증명이 필요하며, 증명은 [[유리수]]와 [[무리수]]의 조밀성을 이용한다. | ||
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== 위상수학에서 == | == 위상수학에서 == | ||
[[위상공간]] <math>X, Y</math> 에 대하여 <math>f:X\rightarrow Y</math> 는 다음을 만족할 경우 연속함수이다. | [[위상공간]] <math>X, Y</math> 에 대하여 <math>f:X\rightarrow Y</math> 는 다음을 만족할 경우 연속함수이다. | ||
<math>\forall{A\underset{\text{open}}{\subseteq}Y},\;\;f^{-1}(A)\underset{\text{open}}{\subseteq}X</math>, where <math>f^{-1}(A):=\{x\in X~|~f(x)\in A\}</math> | <math>\forall{A\underset{\text{open}}{\subseteq}Y},\;\;f^{-1}(A)\underset{\text{open}}{\subseteq}X</math>, where <math>f^{-1}(A):=\{x\in X~|~f(x)\in A\}</math> |