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상당히 불편하기 때문에, 대괄호를 이용한 표기를 도입한다. 양의 [[실수]] <math>a_i</math>에 대해, <math>\left[a_0;\,a_1\,a_2\,\ldots,\,a_n\right]</math>를 <math>a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{\ddots+\frac{1}{a_n}}}</math>로 정의한다. 만약 모든 <math>a_i</math>가 [[정수]]라면, 이 연분수를 '''단순(simple)'''하다고 한다. 위 예시의 경우, <math>\frac{91}{72}=\left[1;\,3\,1\,3\,1\,3\right]</math>이다. 괄호 표기로 주어진 연분수를 중간에 끊어서 근삿값을 추정할 수도 있다. 예를 들면, <math>\frac{91}{72}=\left[1;\,3\,1\,3\,1\,3\right]</math>에서 <math>\left[1;\,3\,1\,3\right]</math>까지만 나타내어 원래 값을 추정하는 것이다. 이를 '''convergent'''라 부른다. 좀 더 정확한 정의는 다음과 같다. :연분수 <math>\left[a_0;\,a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_n\right]</math>가 주어졌다 하자. <math>k\leq n</math>에 대해, '''<math>k</math>번째 convergent'''를 <math>c_k=\left[a_0;\,a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_k\right]</math>로 정의한다. == 성질 == #모든 유한한 단순 연분수는 [[유리수]]이다. 역으로, 모든 [[유리수]]는 유한한 단순 연분수로 나타낼 수 있다. #:유한 단순 연분수가 유리수라는 사실은 자명하다. 역은 [[유클리드 호제법]]을 사용하면 증명할 수 있다 (몫들을 쭉 나열하면 된다). 참고로 유일하지는 않다. 제일 마지막을 <math>\frac{1}{1}</math>로 쪼개면 되기 때문. 즉, 위에서 든 예시의 경우, <math>\frac{91}{72}=\left[1;\,3\,1\,3\,1\,3\right]=\left[1;\,3\,1\,3\,1\,2\,1\right]</math>의 서로다른 두 표현이 존재한다. 하지만 <math>\frac{1}{1}</math>을 쓰지 않는다면 유한 단순 연분수 표기는 유일하다. #<math>\left[a_0;\,a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_n\right]</math>에 대해, <math>p=a_0,\,q_0=1</math>이라 하자. 그리고, <math>p_1=a_0a_1+1,\,q_1=a_1</math>이라 정의하고, <math>k\geq2</math>에 대해 <math>p_k=a_kp_{k-1}+p_{k-2},\,q_k=a_kq_{k-1}+q_{k-2}</math>로 귀납적으로 정의하자. 그럼, <math>c_k=\frac{p_k}{q_k}</math>이다. #:증명은 [[수학적 귀납법]]을 사용한다. #<math>p_kq_{k-1}-p_{k-1}q_k=\left(-1\right)^{k-1}</math>이다. #:역시 [[수학적 귀납법]]을 사용하여 증명한다. 3번 성질에는 세 가지 따름정리가 존재한다. #<math>\gcd\left(p_k,q_k\right)=1</math> #:증명은 [[최대공약수]]와 [[베주 항등식]]을 참조하자. #<math>c_k-c_{k-1}=\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{q_kq_{k-1}}</math> #<math>c_k-c_{k-2}=\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{q_kq_{k-2}}</math> #:직접 계산으로 쉽게 보일 수 있다. == 무한 연분수 == 위 성질 가운데 제일 눈여겨 봐야할 것은 제일 마지막 성질이다. 제일 마지막 따름정리에서, <math>c_0< c_2< c_4<\ldots</math>이고 <math>c_1> c_3> c_5>\ldots</math>임을 알 수 있다. 그리고 두 번째 따름정리에서 [[수열]] <math>\left\{c_{2k}\right\}</math>의 한 상계는 <math>c_1</math>이고, <math>\left\{c_{2k-1}\right\}</math>의 한 하계는 <math>c_0</math>임을 알 수 있다. 따라서, [[단조 수렴 정리]]에 의해 <math>\left\{c_{2k}\right\}</math>와 <math>\left\{c_{2k-1}\right\}</math>는 수렴한다. 한편, 두 번째 따름정리에서 <math>\lim_{k\to\infty}c_k-c_{k-1}=0</math>이므로, <math>\lim_{k\to\infty}c_{2k}=\lim_{k\to\infty}c_{2k-1}</math>이다. 따라서, <math>\lim_{k\to\infty}c_k=\alpha</math>는 존재한다. 그리고 이 <math>\alpha</math>를 무한 연분수 <math>\left[a_0;\,a_1,\,a_2,\,\ldots\right]</math>의 값이라 부른다. 단, 모든 <math>a_i</math>는 양수이다. 유한 연분수와 [[유리수]]는 서로 필요충분 조건임을 위 1번 성질에서 보였으므로, 모든 무한 연분수는 필연적으로 [[무리수]]가 된다. 여기서 당연히 떠오르는 질문은, "'''주어진 무리수를 무한 연분수로 어떻게 나타내는가?'''"이다. 방법은 다음과 같다. :<math>a_0=\left[\alpha\right]</math> (대괄호는 최대 정수 함수). <math>\alpha_1=\frac{1}{\alpha-a_0},\,a_1=\left[\alpha_1\right]</math>로 정의한다. 그리고, <math>\alpha_n=\frac{1}{\alpha_{n-1}-a_{n-1}},\,a_n=\left[\alpha_n\right]</math>으로 귀납적으로 정의하면, <math>\alpha=\left[a_0;\,a_1,\,a_2,\,\ldots\right]</math>이다. 뭔가 복잡해 보이지만, 실은 [[유리수]]를 연분수로 나타내는 과정과 완벽히 동일하다. 다만 그 과정이 무한할 뿐. 아래 예시도 같이 확인하자. :<math>\alpha=\sqrt2</math>라 하자. 그럼, <math>a_0=\left[\alpha\right]=1</math>이고, <math>\alpha_1=\frac{1}{\sqrt2-1}=\sqrt2+1</math>이다. 따라서, <math>a_1=\left[\sqrt2+1\right]=2</math>이고, <math>\alpha_2=\frac{1}{\sqrt2+1-2}=\frac{1}{\sqrt2-1}=\alpha_1</math>이다. 따라서, <math>n\geq1</math>에 대해 <math>a_n=2</math>이다. <math>\therefore\sqrt2=\left[1;\,2,\,2,\,\ldots\right]</math> 참고로, [[황금비]]는 <math>\left[1;\,1,\,1,\,1,\,\ldots\right]</math>이다. == 무한 연분수의 성질 == *순환하는 무한 연분수는 [[정수]] 계수 이차[[방정식]]의 근이다. *<math>k</math>번째 convergent <math>c_k=\frac{p_k}{q_k}</math>에 대해, <math>\left|\alpha-c_k\right|<\frac{1}{{q_k}^2}</math>이다. 게다가, 만약 <math>\left|\alpha-\frac{r}{s}\right|<\left|\alpha-c_k\right|</math>라면, <math>s\geq q_{k+1}</math>이다. *:이게 왜 중요하냐면, <math>c_k</math>는 분모가 <math>q_{k+1}</math>보다 작은 [[분수 (수학)|분수]] 중, <math>\alpha</math>와 제일 가까운 값이라는 뜻이기 때문이다. 예를 들면, <math>\pi=\left[3;\,7,\,15,\,1,\,292,\,\ldots\right]</math>이고, <math>c_0=3,\,c_1=\frac{22}{7},\,c_2=\frac{333}{106},\,c_3=\frac{355}{113}</math>이다. 이 정리에 의해, 분모가 7보다 작은 분수 중에 [[원주율]]에 제일 근사한 값은 3이고, 분모가 106보다 작은 분수 중에 제일 근사한 값은 <math>\frac{22}{7}</math>임을 알 수 있다. 오차 값은 덤. == 같이 보기 == *[[분수 (수학)]] *[[기약분수]] {{각주}} [[분류:수]][[분류:정수론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 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