역함수

정의

함수 \(f:A\to B\)에 대해 역관계 \(f^{-1}\)이 함수라면, \(f^{-1}\)을 역함수(inverse function)라고 한다.

존재 조건과 유일성

• (존재 조건) 함수 \(f:A\to B\)가 일대일 대응인 것은 \(f\)의 역함수가 존재한다는 것과 동치이다.

\((\Longrightarrow)\) \(f\)가 일대일대응이라고 가정하자. 그리고 \(f\)의 역관계를 \(g\)라고 하자. \(B\)의 임의의 원소 \(b\)에 대해 \(f\)가 위로의 함수이므로 \((a,b)\in f\)인 \(a\in A\)가 존재한다. 그러면 역관계의 정의에 의해 \((b,a)\in g\)이다. 즉 임의의 \(b\in B\)에 대해 \((b,a)\in g\)인 \(a\in A\)가 존재한다고 말할 수 있다.

이제 \(A\)의 임의의 원소 \(a_1,a_2\)에 대해 \((b,a_1)\in g, (b,a_2)\in g\)라고 가정하자. 그러면 \((a_1,b)\in f\)이고 \((a_2,b)\in f\)이다. 그런데 \(f\)가 일대일 함수이므로 \(a_1=a_2\)이다.

따라서 \(g\)는 함수이므로 \(f\)의 역함수는 존재한다.

\((\Longleftarrow)\) \(f\)의 역함수가 존재한다고 가정하고 \(g\)라고 표기하자. \((x_1,y)\in f,(x_2,y)\in f\)이면 \((y,x_1)\in g,(y,x_2)\in g\)이다. \(g\)가 함수이므로 \(x_1=x_2\)이다. 따라서 \(f\)는 일대일 함수이다. 또한 임의의 \(b\in B\)에 대해 \(g\)가 함수이므로 \((b,a)\in g\)인 \(a\in A\)가 존재하고, 따라서 임의의 \(b\in B\)에 대해 \((a,b)\in f\)인 \(a\in A\)가 존재한다고 말할 수 있다. 따라서 \(f\)는 위로의 함수이다.

\(f\)가 일대일 함수이고 위로의 함수이므로, \(f\)는 일대일 대응이다.

• (유일성) 함수 \(f\)의 역함수가 존재한다면 유일하다.

함수 \(f\)의 두 역함수를 \(g_1,g_2\)라고 하자. \(i_A:A\to A,i_B=B\to B\)를 항등함수라고 하면

[math]\displaystyle{ g_1=g_1 \circ i_{B}=g_1 \circ ( f \circ g_2) = (g_1 \circ f)\circ g_2 = i_A \circ g_2 = g_2 }[/math]

이다.

예시

• [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} }[/math]이 [math]\displaystyle{ f(x)=2x }[/math]로 정의되었을 때, [math]\displaystyle{ f^{-1}(x)=\frac{1}{2}x }[/math]
• [math]\displaystyle{ f: A \to B }[/math]가 단지 일대일(one‐to‐one)인 경우, 공역을 치역으로 한정한 함수 [math]\displaystyle{ f: A \to f\left(A\right) }[/math]는 일대일대응이고, 이는 역함수 [math]\displaystyle{ f^{-1}|_{f\left(A\right)} }[/math]를 가진다.

같이 보기

• 역함수 정리