여유한위상 편집하기

[[집합]] <math>X</math>에 대해 <math>\mathcal{T}\subset \mathcal{P}(X)</math>를
: <math>\mathcal{T}=\{\emptyset\}\cup \{O\subset X\mid X\setminus O\text{ is finite}\}</math>
로 정의하면 <math>(X,\mathcal{T})</math>는 [[위상공간]]이다. 이때 <math>\mathcal{T}</math>를 '''여유한위상(cofinite topology, finite complement topology)'''이라고 한다.

== 증명 ==
<math>(X,\mathcal{T})</math>가 위상공간의 정의를 충족함을 보인다.
# 당연히 <math>\emptyset\in \mathcal{T}</math>이고, <math>X\setminus X=\emptyset</math>은 [[유한집합]]이므로 <math>X\in\mathcal{T}</math>이다.
# 임의의 <math>O_\alpha \in \mathcal{T}</math> (단, <math>\alpha\in I</math>이며 <math>I</math>는 [[첨자집합]])에 대해, <math>X\setminus O_\alpha</math>는 <math>X</math>이거나 유한집합이므로 [[드 모르간의 법칙]]에 의해 <math>X\setminus \bigcup_{\alpha\in I}O_\alpha=\bigcap_{\alpha\in I}(X\setminus O_\alpha)</math>는 <math>X</math> 또는 유한집합이다. 따라서 <math>\bigcup_{\alpha\in I}O_\alpha\in\mathcal{T}</math>이다.
# 임의의 <math>O_i\in\mathcal{T}</math> (단, <math>i=1,\dots, n</math>)에 대해, <math>X\setminus O_i</math>는 <math>X</math>이거나 유한집합이므로 드 모르간의 법칙에 의해 <math>X\setminus \bigcap_{i=1}^n O_i =\bigcup_{i=1}^n (X\setminus O_i)</math>는 <math>X</math> 또는 유한집합이다. 따라서 <math>\bigcap_{i=1}^n O_i \in\mathcal{T}</math>이다.
따라서 <math>(X,\mathcal{T})</math>는 위상공간이다.

== 성질 ==
<math>X</math>를 여유한위상이 부여된 위상공간이라고 하자.
* <math>X</math>가 유한집합이면, 여유한위상은 [[이산위상]]이다.
* <math>A(\subset X)</math>의 [[유도집합]]은 <math>A'=\begin{cases}\emptyset,&\text{$A$ is finite} \\X,&\text{$A$ is infinite} \end{cases}</math>이다.
{{숨기기|Proof|
* <math>A</math>가 무한집합인 경우: 임의의 <math>x\in X</math>와 <math>x</math>를 포함하는 열린집합 <math>O_x</math>를 고르자. 그러면 <math>X\setminus O_x</math>는 유한집합이고 따라서 <math>X\setminus (O_x \setminus \{x\})</math>도 유한집합이다. <math>X\setminus (O_x \setminus \{x\})</math>가 <math>A</math>의 원소를 가지지 않는다고 가정하면 <math>(O_x \setminus \{x\})\subset X\setminus A</math>이어서 <math>A\subset X\setminus (O_x \setminus \{x\})</math>이므로 <math>A</math>가 유한집합이 되어 모순이 발생한다. 따라서 <math>O_x \setminus \{x\}</math>는 <math>A</math>의 원소를 가진다. 즉, <math>x</math>는 <math>A</math>의 [[집적점]]이다.
* <math>A</math>가 유한집합인 경우: 임의의 <math>x\in X</math>에 대해 <math>O=(X\setminus A)\cup \{x\}</math>로 정의하면 <math>O</math>가 열린집합임을 알 수 있다. 그러나 <math>(O\setminus \{x\})\cap A \subset (X\setminus A)\cap A=\emptyset</math>이므로 <math>x\not\in A'</math>이다.}}
* <math>A(\subset X)</math>의 [[폐포 (수학)|폐포]]는 <math>\overline{A}=\begin{cases}A,&\text{$A$ is finite} \\X,&\text{$A$ is infinite} \end{cases}</math>이다.
{{숨기기|Proof|<math>\overline{A}=A\cup A'</math>로부터 원하는 결과를 얻는다.}}
* <math>X</math>가 무한집합이면 <math>X</math>는 [[분리가능 공간]]이다.
{{숨기기|Proof|<math>X</math>가 무한집합이므로 <math>X</math>의 가산무한인 부분집합이 존재하고, 그 부분집합의 폐포가 <math>X</math>가 된다.}}
* <math>X</math>가 [[비가산집합]]이면 <math>X</math>는 [[제1가산공간]]이 아니다. 또한 <math>X</math>는 어떤 점에서도 가산[[국소기저]]를 가지지 않는다.
{{숨기기|Proof|<math>X</math>가 <math>x\in X</math>에서 가산국소기저 <math>\mathcal{B}_x=\{B_n:n\in\mathbb{N}\}</math>를 가진다고 가정하자. 그러면 각 <math>n\in\mathbb{N}</math>에 대해 <math>X\setminus B_n</math>은 유한집합이고 따라서 <math>X\setminus \bigcap_{n=1}^{\infty} B_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}(X\setminus B_n)</math>은 가산집합이다. <math>X</math>가 비가산집합이므로 <math>\bigcap_{n=1}^{\infty} B_n</math>은 비가산집합이고, 따라서 <math>\bigcap_{n=1}^{\infty} B_n</math>은 <math>x</math>와 다른 원소 <math>a</math>를 가진다. <math>X\setminus \{a\}</math>는 <math>x</math>를 포함하는 열린집합이지만 임의의 <math>n\in\mathbb{N}</math>에 대해 <math>B_n\not\subset X\setminus \{a\}</math>이므로, <math>\mathcal{B}_x</math>가 <math>x</math>의 국소기저라는 가정에 모순이 발생한다.}}
* <math>(a_n)</math>을 <math>X</math> 위의 점열이라고 하자.
** <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 원소가 존재하지 않으면, <math>(a_n)</math>은 모든 점으로 수렴한다.
** <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 원소가 단 하나 있으면, <math>(a_n)</math>은 단 한 점으로 수렴한다.
** <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 원소가 둘 이상 있으면, <math>(a_n)</math>은 어떤 점으로도 수렴하지 않는다.
{{숨기기|Proof|
* <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 원소가 존재하지 않는 경우: <math>x\in X</math>와 <math>x</math>를 포함하는 <math>X</math> 위의 열린집합 <math>O_x</math>를 고르자. 그러면 <math>X\setminus O_x</math>는 유한집합이다. <math>X\setminus O_x</math>가 <math>(a_n)</math>의 원소를 가지지 않는다면, 임의의 <math>n\in\mathbb{N}</math>에 대해 <math>a_n\in O_x</math>이다. <math>X\setminus O_x</math>가 <math>(a_n)</math>의 원소를 가진다면, <math>X\setminus O_x</math>가 유한집합이고 <math>(a_n)</math>의 모든 원소는 유한 번 나타나므로 <math>N=\max\{i\in\mathbb{N}\mid a_i\in X\setminus O_x\}</math>이 존재한다. 만약 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>n > N</math>이면 <math>a_n \in O_x</math>이다. 따라서 <math>\{a_n\}</math>은 <math>x</math>로 수렴한다.
* <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 원소가 단 하나 있는 경우: <math>(a_n)</math>에서 무한히 나타나는 원소를 <math>a</math>라 하자. <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 원소가 존재하지 않는 경우의 논의 과정을 반복하면 <math>(a_n)</math>은 <math>a</math>로 수렴함을 알 수 있다. 이제 <math>x\in X\setminus \{a\}</math>를 고르자. <math>a</math>가 <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나므로, 임의의 <math>N\in\mathbb{N}</math>에 대해 <math>a_n=a</math>이고 <math>n > N</math>인 <math>n\in\mathbb{N}</math>이 존재한다. <math>X\setminus \{a\}</math>는 <math>x</math>를 포함하는 열린집합이지만 <math>a_n\not\in X\setminus \{a\}</math>이고, 따라서 <math>(a_n)</math>은 <math>x</math>로 수렴하지 않는다.
* <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 원소가 둘 이상 있는 경우: <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 서로 다른 두 원소를 <math>a,b</math>라 하자. 임의의 <math>x\in X</math>에 대해 반드시 <math>x\in (X\setminus\{a\}) \cup (X\setminus\{b\})</math>이며, <math>(a_n)</math>에서 무한 번 나타나는 원소가 단 하나 존재하는 경우의 논의 과정을 두 번 반복하면 <math>(a_n)</math>은 어떤 점으로도 수렴하지 않음을 알 수 있다.
}}
* <math>X</math>의 임의의 부분공간의 [[부분공간 위상]]은 여유한위상이다.
{{숨기기|Proof|<math>A</math>를 <math>X</math>의 부분공간이라 하고, <math>T_X</math>를 <math>X</math>의 여유한위상, <math>\mathcal{T}_A</math>를 <math>T_X</math>에 의해 결정되는 부분공간 위상, <math>\mathcal{T}_f</math>를 <math>A</math> 위의 여유한위상이라 하자. <math>U\in T_A</math>를 고르면, <math>U=O\cap A</math>인 <math>O\in T_X</math>가 존재한다. 그러면 <math>X\setminus O</math>는 유한집합이고, <math>A\setminus U=A\setminus (O\cap A)=A\setminus O \subset X\setminus O</math>이므로 <math>A\setminus U</math>는 유한집합이다. 즉, <math>U\in T_f</math>이고 따라서 <math>T_A\subset T_f</math>이다. 이제 <math>V\in T_f</math>를 고르자. 그러면 <math>V\subset A</math>이고 <math>A\setminus V</math>는 유한집합이다. <math>V=(V\cup (X\setminus A))\cap A</math>이고 <math>X\setminus (V\cup (X\setminus A))=(X\setminus V)\cap A=A\setminus V</math>이므로 <math>V\cup (X\setminus A)\in T_X</math>이다. 즉, <math>V\in T_A</math>이고 따라서 <math>T_f \subset T_A</math>이다. 결국 <math>T_A=T_f</math>임을 알 수 있다.}}
* <math>X</math>가 [[연결공간]]일 필요충분조건은 <math>X</math>가 한원소집합이거나 무한집합인 것이다.
* <math>X</math>가 한원소집합이 아닌 가산집합이면 경로연결공간이 아니다. <math>|X|\ge |\mathbb{R}|</math>이면 <math>X</math>는 경로연결공간이다.
* <math>X</math>의 임의의 부분공간은 [[콤팩트공간]]이다.
{{숨기기|Proof|<math>X</math>의 열린덮개를 <math>\mathcal{O}</math>라 하자. <math>\mathcal{O}</math>의 원소 <math>O</math>를 하나 고르면 <math>X\setminus O</math>는 유한집합이고, 따라서 <math>X\setminus O=\{x_1,\dots, x_n\}</math>로 쓸 수 있다. 즉, <math>O</math>는 <math>x_1,\dots, x_n</math>을 제외한 <math>X</math>의 모든 원소를 포함한다. 한편 각 <math>x_i</math>에 대해 <math>x_i \in O_i</math>인 <math>O_i\in \mathcal{O}</math>가 존재한다. 그러면 <math>X=O \cup \bigcup_{i=1}^n O_i</math>이므로 <math>\{O,O_1,\dots, O_n\}</math>이 <math>X</math>의 유한 열린덮개임을 알 수 있다.}}
* <math>X</math>는 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이다.
{{숨기기|Proof|<math>X</math>가 [[한원소집합]]이면 <math>X</math>의 서로 다른 두 원소를 선택할 수 없으므로 원하는 결론을 얻는다. <math>X</math>가 원소를 두 개 이상 가진다고 가정하자. 서로 다른 <math>a,b\in X</math>를 고르면 <math>O_a=X\setminus \{b\}</math>는 <math>a</math>를 포함하지만 <math>b</math>를 포함하지 않는 열린집합이고, <math>O_b=X\setminus \{a\}</math>는 <math>b</math>를 포함하지만 <math>a</math>를 포함하지 않는 열린집합이다. 따라서 <math>X</math>는 T<sub>1</sub> 공간이다.}}
* <math>X</math>의 임의의 T<sub>1</sub> 위상은 여유한위상을 포함한다.
{{숨기기|Proof|<math>X</math>의 임의의 T<sub>1</sub> 위상을 <math>\mathcal{T}_1</math>이라 하자. <math>X\setminus O</math>가 유한집합인 <math>X</math>의 부분집합 <math>O</math>를 고르면 <math>(X,\mathcal{T}_1)</math>에서 <math>X\setminus O</math>는 닫힌집합이고, 따라서 <math>O\in \mathcal{T}_1</math>이다.}}
* <math>X</math>가 [[T2 공간|T<sub>2</sub> 공간]]일 필요충분조건은 <math>X</math>가 유한집합인 것이다.
{{숨기기|Proof|<math>X</math>가 무한집합이면 모든 항이 서로 다른 <math>X</math> 위의 수열을 제시할 수 있고 그 수열은 모든 점으로 수렴한다. T<sub>2</sub> 공간에서 수열의 극한값은 유일하므로 <math>X</math>는 T<sub>2</sub> 공간이 아니다. <math>X</math>가 유한집합이면 <math>X</math> 위의 여유한위상은 이산위상과 동일하고 이산위상이 부여된 위상공간은 T<sub>2</sub> 공간이므로 <math>X</math>는 T<sub>2</sub> 공간이다.}}

== 같이 보기 ==
* [[여가산위상]]

[[분류:위상공간]]
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 {{숨기기|Proof|<math>A</math>를 <math>X</math>의 부분공간이라 하고, <math>T_X</math>를 <math>X</math>의 여유한위상, <math>\mathcal{T}_A</math>를 <math>T_X</math>에 의해 결정되는 부분공간 위상, <math>\mathcal{T}_f</math>를 <math>A</math> 위의 여유한위상이라 하자. <math>U\in T_A</math>를 고르면, <math>U=O\cap A</math>인 <math>O\in T_X</math>가 존재한다. 그러면 <math>X\setminus O</math>는 유한집합이고, <math>A\setminus U=A\setminus (O\cap A)=A\setminus O \subset X\setminus O</math>이므로 <math>A\setminus U</math>는 유한집합이다. 즉, <math>U\in T_f</math>이고 따라서 <math>T_A\subset T_f</math>이다. 이제 <math>V\in T_f</math>를 고르자. 그러면 <math>V\subset A</math>이고 <math>A\setminus V</math>는 유한집합이다. <math>V=(V\cup (X\setminus A))\cap A</math>이고 <math>X\setminus (V\cup (X\setminus A))=(X\setminus V)\cap A=A\setminus V</math>이므로 <math>V\cup (X\setminus A)\in T_X</math>이다. 즉, <math>V\in T_A</math>이고 따라서 <math>T_f \subset T_A</math>이다. 결국 <math>T_A=T_f</math>임을 알 수 있다.}}
 * <math>X</math>가 [[연결공간]]일 필요충분조건은 <math>X</math>가 한원소집합이거나 무한집합인 것이다.
-{{숨기기|Proof|<math>X</math>가 [[한원소집합]]인 경우 <math>X</math>가 연결공간임은 자명하다. <math>X</math>가 한원소집합이 아닌 유한집합이라고 가정하면 <math>X</math>는 이산공간이므로 비연결공간이다. 이제 <math>X</math>가 무한집합이라고 가정하자. <math>U\cup V=X</math>, <math>U\cap V=\emptyset</math>인 공집합이 아닌 열린집합 <math>U,V</math>가 있다고 가정하자. 그러면 <math>X\setminus U,X\setminus V</math>는 유한집합이고
+* <math>X</math>가 한원소집합이 아닌 가산집합이면 경로연결공간이 아니다. <math>|X|\ge |\mathbb{R}|</math>이면 <math>X</math>는 경로연결공간이다.
-: <math>X=X\setminus (U\cap V)=(X\setminus U)\cup (X\setminus V)</math>
-이므로 <math>X</math>가 유한집합이 되어 모순이 발생한다.}}
-* <math>X</math>가 한원소집합이 아닌 가산집합이면 경로연결공간이 아니다.
-{{숨기기|Proof|<math>X</math>가 한원소집합이 아닌 유한집합이면 비연결공간이므로 경로연결공간이 될 수 없다. <math>X</math>가 가산무한집합이라고 가정하자. <math>X</math>가 가산무한집합이므로 <math>X=\{x_1,x_2,\dots\}</math>로 표기할 수 있다. <math>X</math>가 경로연결집합이라면 연속함수 <math>f:[0,1]\to X</math>가 존재해 <math>f(0)=x_1</math>, <math>f(1)=x_2</math>이다. <math>F_n=f^{-1}(\{x_n\})</math>이라 하자. 그러면
-: <math>\displaystyle\begin{align}
-[0,1]&=f^{-1}(X)\\
-&=f^{-1}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} \{x_n\}\right)\\
-&=\bigcup_{n=1}^{\infty} f^{-1}(\{x_n\})\\
-&=\bigcup_{n=1}^{\infty} F_n
-\end{align}</math>
-이다. 임의의 <math>n</math>에 대해 <math>\{x_n\}</math>은 <math>X</math> 위의 닫힌집합이고, <math>f</math>가 연속함수이므로 <math>F_n</math>은 <math>[0,1]</math> 위의 닫힌집합이다. 그런데 <math>i,j\in\mathbb{N}</math>에 대해 <math>i\ne j</math>이면 <math>F_i, F_j</math>는 서로소이므로 <math>[0,1]</math>은 가산무한 개의 쌍마다 서로소인 닫힌집합들의 합집합이 되는데, 이는 불가능함이 알려져 있다. 따라서 <math>X</math>는 경로연결공간이 아니다.}}
-* <math>|X|\ge |\mathbb{R}|</math>이면 <math>X</math>는 경로연결공간이다.
-{{숨기기|Proof|<math>|X|\ge |\mathbb{R}|</math>이므로, [[농도 (수학)|농도]]의 정의에 의해 일대일 함수 <math>f:[0,1]\to X</math>가 존재한다. <math>O</math>를 <math>X</math> 위의 열린집합이라고 하자. 그러면 <math>X\setminus O</math>는 유한집합이고, <math>f</math>가 일대일 함수이므로 <math>f^{-1}(X\setminus O)=[0,1]\setminus f^{-1}(O)</math>는 유한집합이다. 따라서 <math>[0,1]\setminus f^{-1}(O)</math>는 <math>[0,1]</math> 위의 닫힌집합이므로 <math>f^{-1}(O)</math>는 <math>[0,1]</math> 위의 열린집합이다. 따라서 <math>f</math>는 연속함수이다.}}
 * <math>X</math>의 임의의 부분공간은 [[콤팩트공간]]이다.
 {{숨기기|Proof|<math>X</math>의 열린덮개를 <math>\mathcal{O}</math>라 하자. <math>\mathcal{O}</math>의 원소 <math>O</math>를 하나 고르면 <math>X\setminus O</math>는 유한집합이고, 따라서 <math>X\setminus O=\{x_1,\dots, x_n\}</math>로 쓸 수 있다. 즉, <math>O</math>는 <math>x_1,\dots, x_n</math>을 제외한 <math>X</math>의 모든 원소를 포함한다. 한편 각 <math>x_i</math>에 대해 <math>x_i \in O_i</math>인 <math>O_i\in \mathcal{O}</math>가 존재한다. 그러면 <math>X=O \cup \bigcup_{i=1}^n O_i</math>이므로 <math>\{O,O_1,\dots, O_n\}</math>이 <math>X</math>의 유한 열린덮개임을 알 수 있다.}}