약수함수

정의

복소수 [math]\displaystyle{ x\)가 주어졌을 때, 다음과 같이 정의되는 [[산술적 함수]] :\lt math\gt \sigma_x (n)=\sum_{d|n} d^x }[/math] 을 약수함수(divisor function)라고 한다. 이때 [math]\displaystyle{ d\)는 양의 정수이다. 즉, 약수함수는 양의 정수 \lt math\gt n\)이 주어졌을 때 \lt math\gt n\)의 양의 약수의 \lt math\gt x\)제곱을 모두 더한 값이 함숫값이 되는 [[함수 (수학)|함수]]이다. == 성질 == * \lt math\gt x\)가 [[실수]]이면 약수함수는 [[곱셈적 함수]]이다. 임의의 \lt math\gt x\)에 대해 \lt math\gt \sigma_x (1)=1 }[/math]인 것은 쉽게 보일 수 있다. 이제 서로소인 두 양의 정수 [math]\displaystyle{ m,n\)을 생각하자. 이때 \lt math\gt m,n\)의 [[소인수분해]]는 유일하게 존재하므로 \lt math\gt m,n\)의 소인수를 각각 \lt math\gt p_1,p_2,\cdots,p_s\)와 \lt math\gt q_1,q_2,\cdots,q_t\)로 표기하면 : \lt math\gt m=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_s^{e_s} }[/math]

[math]\displaystyle{ n=q_1^{f_1}q_2^{f_2}\cdots q_t^{f_t} }[/math]

와 같이 나타낼 수 있다. 그러면

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sigma_x(mn)&=\sum_{\substack{0\le e_i'\le e_i\\\text{for }1\le i \le s}}\sum_{\substack{0\le f_i'\le f_i\\\text{for }1\le i \le t}}\left(p_1^{e_1'}p_2^{e_2'}\cdots p_s^{e_s'}q_1^{f_1'}q_2^{f_2'}\cdots q_t^{f_t'} \right)^x\\ &=\sum_{\substack{0\le e_i'\le e_i\\\text{for }1\le i \le s}}\left(p_1^{e_1'}p_2^{e_2'}\cdots p_s^{e_s'}\right)^x\sum_{\substack{0\le f_i'\le f_i\\\text{for }1\le i \le t}}\left(q_1^{f_1'}q_2^{f_2'}\cdots q_t^{f_t'}\right)^x\\ &=\sigma_x(m)\sigma_x(n) \end{align} }[/math]

이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \sigma_x\)는 곱셈적 함수이다. == 특수한 경우 == \lt math\gt \sigma_0(n)\)은 \lt math\gt n\)의 양의 약수의 개수를 나타내며, \lt math\gt \tau(n)\)으로도 표기한다.\lt ref name="kimpark"\gt 김응태 · 박승안 (2012). 《정수론》. 경문사. 66쪽. {{ISBN|9788961055956}}\lt /ref\gt \lt math\gt \sigma_1(n)\)은 \lt math\gt n\)의 양의 약수의 합을 나타내며, \lt math\gt \sigma(n)\)으로도 표기한다.\lt ref name="kimpark" /\gt 양의 정수 \lt math\gt n\)에 대해 * \lt math\gt \sigma(n)\lt 2n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n\)을 [[부족수]](deficient number)라고 한다. * \lt math\gt \sigma(n)=2n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n\)을 [[완전수]](perfect number)라고 한다. * \lt math\gt \sigma(n)\gt 2n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n\)을 [[풍족수]](abundant number)라고 한다. * \lt math\gt \sigma(\sigma(n))=2n }[/math]이면 <math>n\)을 초완전수(super-perfect number)라고 한다. 한편 서로 다른 양의 정수 <math>m,n\)에 대해 <math>\sigma(m)=\sigma(n)=m+n\)이면 <math>m\)과 <math>n\)은 친화수(amicable number) 또는 친화쌍(amicable pair)이라고 한다.