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: 는 <math>R</math>의 아이디얼이다. 이때 <math>P</math>를 <math>I</math>와 <math>J</math>의 곱이라고 부르고 <math>IJ</math>로 나타낸다. <ref>아이디얼 ''I'', ''J''에 대해, 집합 <math>P'=\{ij\vert i\in I, j\in J\}</math>는 일반적으로 ''R''의 아이디얼이 아니다. 예를 들어 <math>R = \mathbb{Z}[s,t]</math>이고, ''I''=(''s'',2), ''J''=(''t'',3)이라고 하면, <math>st, 6 \in P'</math>이지만 <math>st+6 \notin P'</math>이다.</ref> | : 는 <math>R</math>의 아이디얼이다. 이때 <math>P</math>를 <math>I</math>와 <math>J</math>의 곱이라고 부르고 <math>IJ</math>로 나타낸다. <ref>아이디얼 ''I'', ''J''에 대해, 집합 <math>P'=\{ij\vert i\in I, j\in J\}</math>는 일반적으로 ''R''의 아이디얼이 아니다. 예를 들어 <math>R = \mathbb{Z}[s,t]</math>이고, ''I''=(''s'',2), ''J''=(''t'',3)이라고 하면, <math>st, 6 \in P'</math>이지만 <math>st+6 \notin P'</math>이다.</ref> | ||
== | == ''X''⊆''R''이 생성하는 아이디얼 == | ||
''X''⊆''R''일 때, ''X''를 포함하는 ''R''의 최소의(smallest) (좌, 우, 양쪽)아이디얼을 '''''X''가 생성하는 (좌, 우, 양쪽)아이디얼'''이라고 한다. 이러한 (좌, 우, 양쪽)아이디얼 ''I''의 존재성과 유일성은 <math>I = \bigcap_{X \subseteq J \trianglelefteq R} J</math>를 증명하면 보일 수 있다(⊴는 본래 양쪽아이디얼만을 뜻하는 것이지만 좀 남용했다. 이해해 주기 바란다). 증명은 (좌, 우, 양쪽)아이디얼의 교집합이 다시 (좌, 우, 양쪽)아이디얼인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다. 이때 ''X''를 이 아이디얼 ''I''의 '''생성자(generator)'''라고 한다. | |||
아래에서는 ''R''은 [[항등원]]을 갖는 가환환이라고 가정하자. | |||
한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 '''[[주아이디얼|주아이디얼(principal ideal)]]'''이라고 한다. 이때 <math>c\in R</math>이 생성하는 주아이디얼은 <math>(c)</math>로 표기한다. 이는 아래와 같은 집합이 됨을 쉽게 알 수 있다. | |||
: <math>(c)=\{rc\vert r\in R\}</math> | : <math>(c)=\{rc\vert r\in R\}</math> | ||
유한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 ''' | 유한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 '''유한생성아이디얼(finitely generated ideal)'''이라고 한다. 이때 <math>c_1,c_2,\cdots,c_n\in R</math>이 생성하는 아이디얼 <math>(c_1,c_2,\cdots,c_n)</math>는 아래와 같은 집합이 된다. | ||
: <math>(c_1,c_2,\cdots,c_n)=\{r_1c_1+r_2c_2+\cdots+r_nc_n\vert r_1,r_2,\cdots, r_n\in R\}</math> | : <math>(c_1,c_2,\cdots,c_n)=\{r_1c_1+r_2c_2+\cdots+r_nc_n\vert r_1,r_2,\cdots, r_n\in R\}</math> | ||