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Archimedian property | Archimedian property | ||
== 개요 == | == 개요 == | ||
어떤 큰 양수 | 어떤 큰 양수 \(c\)와 작은 양수 \(x\)가 있다고 하자. 이 \(x\)를 계속 더해나갈 때, 우리는 그 합이 언젠가는 \(c\)를 넘어설 것이라는 것을 직관적으로 이해하고 있다. 반대로, 어떤 작은 양수 <math>\varepsilon</math>이 있다고 하자. 직관적으로 우리는 이 <math>\varepsilon</math>보다 작은 수가 존재한다고 알고 있다. 하지만, 위 두 성질이 수학적으로 어째서 성립하는지 묻는다면 대부분 "그냥 그런거 아냐?"라는 대답을 듣게 될 것이다. 아르키메데스 성질은 이 두 성질을 수학적으로 나타낸 것이며, 당연하지만 증명이 존재한다. | ||
== 실해석학에서 == | == 실해석학에서 == | ||
*<math>a,\,b\in\mathbb{R}^+</math>이라 하자. 그럼 <math>na> b</math>를 만족하는 <math>n\in\mathbb{N}</math>이 존재한다. | *<math>a,\,b\in\mathbb{R}^+</math>이라 하자. 그럼 <math>na> b</math>를 만족하는 <math>n\in\mathbb{N}</math>이 존재한다. | ||
**<math>\forall n\in\mathbb{N},\,na\leq b</math>라 가정하자. <math>S=\left\{na\mid n\mathbb{N}\right\}</math>이라 하면 집합 | **<math>\forall n\in\mathbb{N},\,na\leq b</math>라 가정하자. <math>S=\left\{na\mid n\mathbb{N}\right\}</math>이라 하면 집합 \(S\)는 공집합이 아니고 \(b\)에 의해 위로 유계이다. Completeness 공리에의해 <math>M=\sup S</math>가 [[실수]]로서 존재하고, <math>a>0</math>이므로 <math>M-a< M</math>이다. <math>M-a</math>는 상계가 아니므로 적당한 자연수 <math>n_0</math>에 대해 <math>n_0a> M-a</math>가 성립한다. 그런데 <math>\left(n_0+1\right)a> M</math>이고, <math>n_0+1\in\mathbb{N}</math>이므로 <math>\left(n_0+1\right)a\in S</math>이다. 이는 곧 <math>M</math>이 상계라는 가정에 모순이다. 따라서 <math>na\leq b</math>는 모든 자연수 \(n\)에 대해 성립할 수 없고, 곧 적당한 자연수 \(n\)에 대해 <math>na> b</math>가 성립한다. | ||
*따름정리: 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해, <math>\frac{1}{n}<\varepsilon</math>을 만족하는 <math>n\in\mathbb{N}</math>이 존재한다. | *따름정리: 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해, <math>\frac{1}{n}<\varepsilon</math>을 만족하는 <math>n\in\mathbb{N}</math>이 존재한다. | ||
**<math>a=1,\,b=\frac{1}{\varepsilon}</math>이라 하자. 그럼 아르키메데스 성질에 의해 <math>n>\frac{1}{\varepsilon}</math>을 만족하는 <math>n\in\mathbb{N}</math>이 존재한다. 즉, <math>\frac{1}{n}<\varepsilon</math> | **<math>a=1,\,b=\frac{1}{\varepsilon}</math>이라 하자. 그럼 아르키메데스 성질에 의해 <math>n>\frac{1}{\varepsilon}</math>을 만족하는 <math>n\in\mathbb{N}</math>이 존재한다. 즉, <math>\frac{1}{n}<\varepsilon</math> | ||
[[분류:해석학]] | [[분류:해석학]] | ||