로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!==== 부정적분 ==== 문과생에게도 잘 알려져 있는 "적분은 미분 거꾸로, 미분은 적분 거꾸로" ===== 상수배 ===== <math>\int c f(x) dx = c \int f(x) dx</math> ===== 합차 ===== <math>\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx</math> ===== <math>\color{#FF00}{{x}^{n}}</math> ===== {| class="wikitable" ! colspan="2" style="text-align: center;" | 함수 ! colspan="2" style="text-align: center;" | 역도함수(부정적분) |- | rowspan="2" colspan="2" style="text-align: center;" | <math>{x}^{n}</math> | style="text-align: center;" | <math>n \neq -1</math> | style="text-align: center;" | <math>\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C</math> |- | style="text-align: center;" | <math>n = -1</math> | style="text-align: center;" | <math>\ln |x|+C</math> |} ===== 삼각함수 ===== {| class="wikitable" ! colspan="2" style="text-align: center;" | 함수 ! style="text-align: center;" | 역도함수(부정적분) |- | colspan="2" style="text-align: center;" | <math>\sin x</math> | style="text-align: center;" | <math>-\cos x +C</math> |- | colspan="2" style="text-align: center;" | <math>\cos x</math> | style="text-align: center;" | <math>\sin x+C</math> |- | colspan="2" style="text-align: center;" | <math>{\sec}^{2} x</math><ref><math> \sec x</math>는 <math>\frac{1}{\cos x}</math>입니다.</ref> | style="text-align: center;" | <math>\tan x+C</math> |- | colspan="2" style="text-align: center;" | <math>{\csc}^{2} x</math><ref><math> \csc x</math>는 <math>\frac{1}{\sin x}</math>입니다.</ref> | style="text-align: center;" | <math>-\cot x+C</math><ref><math>\cot x</math>는 <math>\frac{1}{\tan x}</math>입니다.</ref> |- | colspan="2" style="text-align: center;" | <math>\sec x \tan x</math> | style="text-align: center;" | <math>\sec x +C</math> |- | colspan="2" style="text-align: center;" | <math>\csc x \cot x</math> | <math>-\csc x +C</math> |} ===== <math>{a}^{x},a>0,a\neq 1</math> ===== <math>\int {a}^{x} dx=\frac{{a}^{x}}{\ln a}+C</math> ===== 치환적분법 ===== <math>\int f(x) dx = \int f(g(t)) g'(t) dt</math><ref>단 <math>x=g(t)</math></ref> 뭐 이렇기는 한데, 미분의 합성함수의 미분법과는 달리 치환적분법은 모든 합성함수에 대해 적용할 수가 없다. 오히려 적용이 거의 안 되는 경우가 훨씬 더 많다! {{ㅊ|전혀 간단하지 않게}} 말하자면 <math>t=</math>(<math>x</math>에 관한 적당한 함수)로 놓고 <math>x=</math>(<math>t</math>에 관한 함수)로 {{ㅊ|적절히}} 변형한 다음에 위 식에 대입하자.<br /> 또는 dt,dx 등을 숫자처럼 취급하여 적당한 함수를 t로 놓은 다음에 적당히 양변을 미분해 보자. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> 예시 1 : <math>\int {(2x+1)}^{3} dx = ?</math> <div class="mw-collapsible-content"> <math>2x+1=t, f(x)={(2x+1)}^{3}</math>로 놓자. 양변에 1을 빼고 2로 나누면, <math>x=\frac{t-1}{2}=g(t) \implies g'(t)=\frac{1}{2}=\frac{dx}{dt}</math> 이제 <math>f(x)</math>에 대입하면 <math>\int {(2x+1)}^{3} dx = \int { \left( 2×\frac{t-1}{2} + 1 \right) }^{3} \times \frac{1}{2} dt</math> <math>= \int \frac{1}{2}{t}^{3} dt = \frac{1}{2} \int {t}^{3} dt = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} t^4+C = \frac{1}{8} t^4+C </math> <math>t=2x+1</math>이므로 <math>t</math>에 다시 대입하면 <math>\frac{1}{8} {(2x+1)}^{4} + C</math> </div> </div> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> 예시 2 : <math>\int \tan x dx = ?</math> <div class="mw-collapsible-content"> <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> 이므로 주어진 식은 <math>\int \frac{\sin x}{\cos x} dx</math> 이때 <math>t=g(x)=\cos x</math>로 두면 <math> g'(x) = - \sin x = \frac{{\mathrm d}t}{\mathrm dx} </math> <math>\int \frac{\sin x}{\cos x}dx = \int \frac{1}{t} × -1 dt = -\int \frac{1}{t} dt = -\ln|t| + C</math> <math>t= \cos x</math>이므로 <math>t</math>에 다시 대입하면 <math> - \ln|\cos x| + C</math> </div> </div> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> 예시 3 : <math>\int \csc x dx = ?</math> <div class="mw-collapsible-content"> <math>\int \frac{1}{\sin x}dx</math><br /> <math>\int \frac{\sin x}{\sin^2 x}dx</math><br /> <math>\int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}dx</math><br /> <math>t=\cos x</math>,<math>\frac{dt}{dx}=-\sin x</math><br /> <math>dt=-\sin x dx</math><br /> <math>-\frac{1}{\sin x}dt=dx</math><br /> <math>-\int \frac{1}{1-t^{2}}dt</math><br /> <math>-\frac{1}{2}\int \ \left ( \frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t} \right )dt</math><br /> <math>-\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+t} dt-\frac{1}{2}\int \frac{1}{1-t} dt</math><br /> <math>-\frac{1}{2}\ln\left | 1+t \right |+\frac{1}{2}\ln \left | 1-t \right |+C</math><br /> <math>-\frac{1}{2}\ln\left | 1+\cos x \right |+\frac{1}{2}\ln \left | 1-\cos x \right |+C</math><br /> <math>\frac{1}{2}\ln\left | \frac{1-\cos x}{1+\cos x} \right |+C</math> </div> </div> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> 예시 4 : <math>\int \sec x dx = ?</math> <div class="mw-collapsible-content"> <math>\int \frac{1}{\cos x}dx</math><br /> <math>\int \frac{\cos x}{\cos^2 x}dx</math><br /> <math>\int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x}dx</math><br /> <math>t=\sin x</math>,<math>\frac{dt}{dx}=\cos x</math><br /> <math>dt=\cos x dx</math><br /> <math>\frac{1}{\cos x}dt=dx</math><br /> <math>\int \frac{1}{1-t^{2}}dt</math><br /> <math>\frac{1}{2}\int \ \left ( \frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t} \right )dt</math><br /> <math>\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+t} dt-\frac{1}{2}\int \frac{1}{1-t} dt</math><br /> <math>\frac{1}{2}\ln\left | 1+t \right |+\frac{1}{2}\ln \left | 1-t \right |+C</math><br /> <math>\frac{1}{2}\ln\left | 1+\sin x \right |-\frac{1}{2}\ln \left | 1-\sin x \right |+C</math><br /> <math>\frac{1}{2}\ln\left | \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right |+C</math> </div> </div> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> 예시 5: <math>\int \cot x dx=?</math> <div class="mw-collapsible-content"> <math>\int \frac{\cos x}{\sin x}dx</math><br /> <math>t=\sin x,\frac{dt}{dx}=\cos x,dt=\cos x dx,\frac{1}{\cos x}dt=dx</math><br /> <math>\int \frac{1}{t}dt,\ln\left | t \right |+C,\ln\left | \sin x \right |+C</math> </div> </div> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> 예시 6: <math>\int \sqrt{1+b^2 \left ( \ln a \right )^{2}a^{2\left ( bx+c \right )}}dx</math> <div class="mw-collapsible-content"> 1.이 함수는 곡선 <math>f(x)=a^{bx+c}</math>의 길이를 구하는 데 필요한 함수이므로 한번 구해봅시다.<br /> 2.우선 <math>t=a^{2\left ( bx+c \right )}</math>로 삼아야 합니다.<br /> 3.양변에 자연대수를 취해볼까요?<br /> 4.<math>\ln t=2\left ( bx+c \right )\ln a</math><br /> 5.<math>\frac{\ln t}{2\ln a}=bx+c</math><br /> 6.<math>\frac{\ln t}{2\ln a}-c=bx</math><br /> 7.<math>\frac{\ln t}{2b\ln a}-\frac{c}{b}=x=g(t)</math><br /> 8.자,이제 양변에 미분을 먹여줍시다.<br /> 9.<math>\frac{1}{2bt\ln a }=g'(t)</math><br /> 10.이제 <math>f(x)=\sqrt{1+a^{\left ( 2\left ( bx+c \right ) \right )}b^{2} \left (\ln a \right )^2}</math>에 대입합시다.<br /> 11.<math>2(bx+c)=\frac{\ln t}{\ln a}</math><br /> 12.<math>\frac{\int \sqrt{1+b^2\left ( \ln a \right )^{2}t}}{2bt \ln a} dt</math><br /> 13.아무튼 이렇게 됩니다.자 아무튼 <math>\frac{\int \sqrt{1+b^2\left ( \ln a \right )^{2}x}}{2bx \ln a} dx\\</math>을 구해봅시다.<br /> 14.<math> t=\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}x}\\ t^{2}=1+b^2\left ( \ln a \right )^{2}x\\ t^{2}-1=b^2\left ( \ln a \right )^{2}x\\ \frac{t^{2}-1}{b^2\left ( \ln a \right )^{2}}=x=g(t)\\ \frac{2t}{b^2\left ( \ln a \right )^{2}}=g'(t)\\ </math><br /> 15.<math>\frac{\frac{2t^2}{b^2\left ( \ln a \right )^2}}{\frac{2b\ln a\left ( t^2-1 \right )}{b^2\left ( \ln a \right )^2}}</math><br /> 16.<math> \frac{2t^2}{b^2\left ( \ln a \right )^2}\\ \frac{2b\ln a\left ( t^2-1 \right )}{b^2\left ( \ln a \right )^2}\\ \int \frac{\frac{2t^2}{b^2\left ( \ln a \right )^2}}{\frac{2b\ln a\left ( t^2-1 \right )}{b^2\left ( \ln a \right )^2}} dt\\ \int \frac{2t^2}{2b\ln a \left ( t^2-1 \right )}dt\\ \int \frac{t^2}{b\ln a \left ( t^2-1 \right )}dt\\ \frac{1}{b\ln a}\int \frac{t^2}{t^2-1}dt\\ \frac{1}{b\ln a}\int \left ( \frac{t^2-1+1}{t^2-1} \right )dt\\ \frac{1}{b\ln a}\int \left ( 1-\frac{1}{t^2-1} \right )dt\\ </math><br /> 17. <math> \frac{1}{t^2-1}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t-1}\\ \frac{1}{t^2-1}=\frac{At-A+Bt+B}{t^2-1}\Leftrightarrow \left ( A+B \right )t+\left ( B-A \right )=1\\ \begin{cases} & A+B= 0\\ & B-A= 1 \end{cases}\\ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{-1}{2}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\ A=-\frac{1}{2},B=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{t-1} -\frac{1}{t+1}\right )=\frac{1}{t^2-1} </math><br /> 18. <math> \frac{1}{b\ln a}\int \left ( 1-\frac{1}{t^2-1} \right )dt\\ \frac{1}{b \ln a}\left ( \int 1 dt -\frac{1}{2}\int\left ( \frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1} \right ) dt\right )\\ \frac{1}{b \ln a}\left ( t-\frac{1}{2}\ln \left | \frac{t-1}{t+1} \right | \right )+C\\ </math> 19. <math> \frac{1}{b \ln a}\left ( \sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}x}-\frac{1}{2}\ln \left | \frac{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}x}-1}{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}x}+1} \right | \right )+C\\ </math> 20. 12번의 부정적분은 <math> \frac{1}{b \ln a}\left ( \sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}t}-\frac{1}{2}\ln \left | \frac{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}t}-1}{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}t}+1} \right | \right )+C\\ </math> 아래와 같습니다.<br /> 21.이제 원래대로 되돌아갑시다... <div style=color:#E96AC2;font-size:1pc> <math> \frac{1}{b \ln a}\left ( \sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}a^{2\left ( bx+c \right )} }-\frac{1}{2}\ln \left | \frac{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}a^{2\left ( bx+c \right )}}-1}{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^{2}a^{2\left ( bx+c \right )}}+1} \right | \right )+C\\ </math><br /> </div> 22. <div style=color:#E96AC2;font-size:2pc> <math> \frac{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^2 a^{2\left ( bx+c \right )}}-\frac{1}{2}\ln \left | \frac{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^2 a^{2\left (bx+c \right )}}-1}{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^2 a^{2\left (bx+c \right )}}+1} \right |}{b\ln a}+C\\ \frac{2\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^2 a^{2\left (bx+c \right )}}-\ln \left | \frac{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^2 a^{2\left (bx+c \right )}}-1}{\sqrt{1+b^{2}\left ( \ln a \right )^2 a^{2\left (bx+c \right )}}+1} \right |}{2b\ln a}+C\\ </math> </div> 이제 끝났습니다. </div> </div> ===== 부분적분법 ===== <math>\int f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math> '''그 적 미 그'''(...) <math>f(x)</math>를 '''''그'''''대로 두고 <math>g'(x)</math>를 '''''적'''''분한 뒤 적분 안에서 <math>f(x)</math>를 '''''미'''''분하고 <math>g'(x)</math>를 적분한 '''''그'''''대로 둔다. 로그함수, 역삼각함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수 중에서 가장 전자를 <math>f(x)</math>에 대입하고 후자를 <math>g'(x)</math>에 대입하는 것이 좋다. 후자로 갈수록 적분하기 쉬우며 적분한 함수가 간단하기 때문. 곱의 미분법 적분판이라고 볼 수 있…지만 만능은 전혀 아니다. 또 뒤에 달린 <math>\int f'(x)g(x)dx</math>에서 다시 부분적분을 할 수 있다. 즉 부분적분을 연쇄적으로 두 번, 세 번 할 수도 있다. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> 예시 1 : <math>\int x e^x\ dx = ?</math> <div class="mw-collapsible-content"> <math>x</math>를 <math>f(x)</math>로, <math>e^x</math>를 <math>g'(x)</math>로 놓자. 즉 <math>x</math>는 미분하고 <math>e^x</math>는 적분해서 <math>\int x e^x dx = x(e^x +C) - \int 1·(e^x +C) = x e^x + Cx - (e^x + Cx + D ) = (x-1)e^x - D</math> (단, <math>C, D</math>는 적분상수다.) 이 때 적분상수는 부호를 떼버려도 된다. 적분상수 자체가 정해진 값이 아닌, 임의의 실수이기 때문. <math>\therefore \int x e^x dx = (x-1)e^x + D</math> </div> </div> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> 예시 2 : <math> \int \log_{a} x\ dx = ? \; (a>0)</math> <div class="mw-collapsible-content"> 우선 로그함수를 자연로그로 바꿔 <math> \int \log_{a} x dx = \int \frac{\ln x}{\ln a} dx = \frac{1}{\ln a} \int \ln x dx</math>로 쓰자. 이제 적분하거나 미분할 함수 2개가 필요한데, 보이는 건 <math>\ln x</math>밖에 없다! 이 때는 당황하지 말고 앞에 숨어 있는 1을 끄집어내서 <math>1 × \ln x</math>로 만들고 1을 다항함수로 취급하자. 1은 적분하고 <math>\ln x</math>는 미분하면 <math>\frac{1}{\ln a} \int 1 × \ln x dx = \frac{1}{\ln a} \left(x \ln x - \int x·\frac{1}{x} dx \right) = \frac{1}{\ln a} \left( x \ln x - \int 1 dx \right) = \frac{1}{\ln a} (x \ln x - x)</math> <math>\therefore \int \log_{a} x\ dx = \frac{1}{\ln a} (x \ln x - x) \; (a>0)</math> </div> </div> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> 예시 3 : <math> \int x\log_{a} x\ dx = ? \; (a>0)</math> <div class="mw-collapsible-content"> <math>\frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx</math><br /> <math>f(x)=\ln x,g'(x)=x</math>로 둡니다.<br /> <math>\frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \ln x\left ( \frac{x^{2}}{2}+C \right )-\int \frac{1}{x}\left ( \frac{x^{2}}{2}+C \right )dx \right )</math><br /> <math>\frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \frac{x^{2}\ln x}{2}+C\ln x+\int \left ( \frac{-x^{2}}{2x}+\frac{-C}{x} \right ) dx \right )</math><br /> <math>\frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \frac{x^{2}\ln x}{2}+C\ln x+\int \left ( \frac{-x}{2}+\frac{-C}{x} \right ) dx \right )</math><br /> <math>\frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \frac{x^{2}\ln x}{2}+C\ln x+\int \frac{-x}{2}dx+\int \frac{-C}{x} dx\right )</math><br /> <math>\frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \frac{x^{2}\ln x}{2}+C\ln x-\frac{1}{2}\int \ xdx-C\int \frac{1}{x} dx\right )</math><br /> <math>\frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \frac{x^{2}\ln x}{2}+C\ln x-\frac{1}{2}\times \frac{x^{2}}{2}-C\times \ln \left | x \right | \right )+D</math><br /> <math>\frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \frac{x^{2}\ln x}{2}+C\ln x-\frac{x^{2}}{4}-C\ln \left | x \right | \right )+D</math><br /> 그런데 <math>x\geq 0</math>이면 <math>\left | x \right |=x</math>입니다.따라서.<br /> <math> \require{cancel} \frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \frac{x^{2}\ln x}{2}\cancel{+C\ln x}-\frac{x^{2}}{4}+\cancel{-C\ln x} \right )+D</math><br /> <math>\frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx=\frac{1}{\ln a} \left ( \frac{x^{2}\ln x}{2}-\frac{x^{2}}{4} \right )+D</math><br /> <math>\frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx= \frac{x^{2}\ln x}{2\ln a}-\frac{x^{2}}{4\ln a} +D</math><br /> <math>\frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx= \frac{2x^{2}\ln x-x^{2}}{4\ln a} +D</math><br /> <math>\therefore \frac{1}{\ln a}\int x \ln x dx= \frac{x^{2}\left ( 2\ln x -1 \right )}{4\ln a} +D</math> </div> </div> ======부분적분의 빠른 계산을 위한 팁====== 위에서 <math>f\left(x\right)</math>와 <math>g\left(x\right)</math>자리에 어떤 함수가 들어가야 빠르게 계산할 수 있는지에 관한 팁이다. * L-I-A-T-E *: L = 로그함수, I = 역삼각함수, A = 대수함수(다항함수, 유리함수, 무리함수), T = 삼각함수, E = 지수함수 *: 적분기호 안의 함수를 위 순서대로 배열한다. 그런 다음, 왼쪽에 있는 함수를 <math>f\left(x\right)</math>, 오른쪽에 있는 함수를 <math>g^\prime \left(x\right)</math>로 놓고 부분적분을 사용하면 된다. *: 이렇게 하면 연쇄적으로 해야 하는 부분적분의 횟수를 최소한으로 할 수 있다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · 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