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| {{시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학}} | | <includeonly></includeonly>{{쉽게 알 수 있다 시리즈 |
| | |수학이 정말 쉬워서 저 수포자 그만둡니다. |
| | |문서의 내용이 너무 쉬워서 머리속에 쏙쏙 들어옵니다. |
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| | {{:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학}} |
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| 이 문서는 [[수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/함수|함수 파트]]와 같이 보는 것을 권장한다. | | 이 문서는 [[수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/함수|함수 파트]]와 같이 보는 것을 권장한다. |
| ==문자와 식== | | ==문자와 식== |
| 우리는 수식을 작성할 때 [[연산자]]<ref>+,-,×,÷. 원래는 좀 더 포괄적인 개념이다.</ref> 외에도 숫자와 문자를 이용하곤 한다. 식에서 문자는 상수 또는 변수로 사용된다. '''상수'''는 ''변하지 않는 값''이라는 뜻으로, 특정 숫자를 대신하는 문자를 뜻한다. <math>\pi, e</math>와 같은 것들이 있고, 필요하면 임의로 지정할 수 있다. 반면에, '''변수'''는 ''변하는 값''이라는 뜻으로, 문자가 특정 숫자만을 가리키지 않으며 임의의 조건을 만족하는 어떤 수라도 문자를 대신할 수 있다. 변수를 ''미지수''라고도 한다. | | 우리는 수식을 작성할 때 [[연산자]] 이외에 숫자와 문자를 이용하곤 한다. 식에서 문자의 용도는 두 가지(상수 또는 변수)이다. '''상수'''는 ''변하지 않는 값''이라는 뜻으로, 특정 숫자를 대신하는 문자를 뜻한다. <math>\pi, e</math>와 같은 것들이 있고, 필요하면 임의로 지정할 수 있다. 반면에, '''변수'''는 ''변하는 값''이라는 뜻으로, 문자가 특정 숫자만을 가리키지 않고 (임의의 조건을 만족하는)어떤 수라도 문자를 대신할 수 있다. 변수를 ''미지수''라고도 한다. |
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| ==다항식의 연산과 인수분해== | | ==다항식의 연산과 인수분해== |
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| ====인수분해==== | | ====인수분해==== |
| 인수분해(factorization)이란, 어떤 다항식을 그 식의 인수들의 곱으로 나타내는 것을 말한다. 인수란 그 다항식을 나누는 다른 다항식이다. 단, 정수에서 1을 소수라 하지 않는 것처럼, 유리수 등 사칙 연산에서 닫혀있는 수를 계수로 다룰 경우, 그 수를 인수로 취급하지는 않는다. | | 인수분해(factorization)이란, 어떤 다항식을 그 식의 인수들의 곱으로 나타내는 것을 말한다. 인수란 그 다항식을 나누는 다른 다항식이다. |
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| 예를 들어 우리는 자연수 12를 <math>12=2^2\times 3</math>으로 [[소인수분해|소'''인수'''분해]]할 수 있음을 알고 있다. 여기서의 인수가 바로 그 인수이다. | | 예를 들어 우리는 자연수 12를 <math>12=2^2\times 3</math>으로 [[소인수분해|소'''인수'''분해]]할 수 있음을 알고 있다. 여기서의 인수가 바로 그 인수이다. |
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| ==== 연립일차부등식 ==== | | ==== 연립일차부등식 ==== |
| 연립일차방정식을 푸는 과정보다는 간단하다. | | 연립일차방정식을 푸는 과정보다는 간단하다. |
| | ===== 미지수가 하나인 경우 ===== |
| 먼저, 각각의 부등식을 풀어둔다. 그 다음에는 수직선 위의 그래프를 이용해 범위를 표현한다. | | 먼저, 각각의 부등식을 풀어둔다. 그 다음에는 수직선 위의 그래프를 이용해 범위를 표현한다. |
| * <math>x\ge a</math>의 경우에는 | | * <math>x\ge a</math>의 경우에는 |
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| 이렇게 칠해진 범위가 이 부등식의 답이다. 위 경우의 답은 <math>a\le x\lt b\lor c\le x\lt d</math>이다. | | 이렇게 칠해진 범위가 이 부등식의 답이다. 위 경우의 답은 <math>a\le x\lt b\lor c\le x\lt d</math>이다. |
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| | ===== 미지수가 둘인 경우 ===== |
| | 수직선만으로는 범위를 표현할 수 없기 때문에, 좌표 평면을 이용한다. |
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| === 이차방정식 === | | === 이차방정식 === |
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| 참고로 지금 황금비(golden ratio)를 구한 것이다(정확히는 <math>\tfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618 \cdots</math>가 황금비) | | 참고로 지금 황금비(golden ratio)를 구한 것이다(정확히는 <math>\tfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618 \cdots</math>가 황금비) |
| ==== 이차부등식 ==== | | ==== 이차부등식 ==== |
| 위의 [[수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/문자와 식 및 방정식과 부등식#연립일차부등식|연립일차부등식]]과 같은 방법으로 진행한다. 이차부등식을 이차방정식으로 놓고 풀었을 때, 판별식이 0보다 작은 경우에는 복소수의 성질에 의해 해가 없다. 주어진 이차 부등식이
| | ===== 변수가 하나일 때 ===== |
| * <math>ax^2+bx+c\gt 0(a, b, c는 실수)</math>일 때
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| ** <math>b^2-4ac=0</math>
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| *** <math>a\gt 0</math>
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| *** <math>a\lt 0</math>
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| ** <math>b^2-4ac>0</math>
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| *** <math>a\gt 0</math>
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| *** <math>a\lt 0</math>
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| * <math>ax^2+bx+c\lt 0(a, b, c는 실수)</math>일 때
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| ** <math>b^2-4ac=0</math>
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| *** <math>a\gt 0</math>
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| *** <math>a\lt 0</math>
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| ** <math>b^2-4ac>0</math>
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| *** <math>a\gt 0</math>
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| *** <math>a\lt 0</math>
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| * <math>ax^2+bx+c\ge 0(a, b, c는 실수)</math>일 때
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| ** <math>b^2-4ac=0</math>
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| *** <math>a\gt 0</math>
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| *** <math>a\lt 0</math>
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| ** <math>b^2-4ac>0</math>
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| *** <math>a\gt 0</math>
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| *** <math>a\lt 0</math>
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| * <math>ax^2+bx+c\le 0(a, b, c는 실수)</math>일 때
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| ** <math>b^2-4ac=0</math>
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| *** <math>a\gt 0</math>
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| *** <math>a\lt 0</math>
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| ** <math>b^2-4ac>0</math>
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| *** <math>a\gt 0</math>
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| *** <math>a\lt 0</math>
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| === 고차방정식 === | | === 고차방정식 === |
| ==== 나머지정리 ====
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| 나머지정리는 주로 나머지를 구하는 데 쓰이는데 쓰이며, 직접 나누지 않고 간단한 대입만으로 다항식의 나머지를 구할 때 쓰인다.
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| ===== 원리 =====
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| 7을 3으로 나눠보자 :
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| <math>7 \div 3 = 3 \times 2 + 1</math>
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| 이제 위의 계산이 올바른지 검산해보자. 여기서 이면지 한장 더 꺼내서 계산하는 방법 말고 검산하는 방법은 뭐가 있을까? 바로 몫과 나누는 값을 곱하고 나머지를 더하면 나뉜 값이 나오는 지 확인하는 방법이 있다.
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| 검산 : <math>3 \times 2 + 1 = 7</math>
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| 다항식의 계산도 위와 똑같은 방식으로 검산할 수 있다. <math>f(x)</math>를 <math>b(x)</math>로 나누었을때 몫을 <math>q(x)</math>, 나머지를 <math>r(x)</math>라 할 때 검산식은 다음과 같다.
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| 공식 : <math>f(x) = b(x)q(x) + r(x)</math>
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| ===== 응용 =====
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| 문제 : <math>3x^2 + 4x + 1</math>를 <math>x - 3</math>으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.
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| # 먼저 원리 문단에서의 공식에 몫, 나누는 값, 나누어지는 값, 나머지를 대입한다.
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| #: <math>3x^2 + 4x + 1 = (x-3)q(x) + r(x)</math>
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| # x에 3을 대입한다.
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| #: <math>3\times3^2 + 4\times3 + 1 = (3-3)q(3) + r(3)</math>
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| #: <math>40 = 0 \times q(3) + r(3) </math>
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| #: <math>40 = r(3)</math>
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| # 이때 나누는 값의 최대차수가 1이므로, 나머지는 상수항으로만 이루어져 있다. (나머지의 최대차수는 무조건 나누는 다항식의 최대차수 미만이므로) 따라서 <math>r(x)</math>에서 x의 값에 따라 <math>r(x)</math>의 값이 변하지 아니하고 항상 일정한 값이므로 나머지는 40이다.
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| # 따라서 답은 40이다.
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| ==== 고차부등식 ==== | | ==== 고차부등식 ==== |
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| === 유리방정식 === | | === 유리방정식 === |
| ==== 무연근 ====
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| ==== 유리부등식 ==== | | ==== 유리부등식 ==== |
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