순환군

정의

군 G의 원소 a에 대해 집합

[math]\displaystyle{ \langle a \rangle=\{\dots, a^{-2},a^{-1},a^0,a^1,a^2,\dots,\} }[/math]

은 G의 부분군이다. [math]\displaystyle{ \langle a\rangle }[/math]를 a에 의해 생성된 순환군(cyclic group generated by a)이라고 한다. 만약 [math]\displaystyle{ G=\langle a\rangle }[/math]이면 G를 순환군(cyclic group)이라고 한다.

예시

• [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z},+) }[/math]는 순환군이다.
• [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +) }[/math]

성질

• 순환군의 부분군은 순환군이다.
• [math]\displaystyle{ \langle a \rangle = \langle a^{-1} \rangle }[/math]이다.
• a가 무한 계수(infinite order)를 가지면 [math]\displaystyle{ \langle a \rangle }[/math]는 무한부분군이고 유한 계수(finite order) n을 가지면 [math]\displaystyle{ \langle a \rangle }[/math]의 계수는 n이다.
• 만약 [math]\displaystyle{ a }[/math]가 유한 계수 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 가지면, [math]\displaystyle{ a^m }[/math]의 유한 계수는 [math]\displaystyle{ n/(n,m) }[/math]이다.
• 모든 순환군은 위의 두 예시 중 하나와 군 동형사상을 이룬다. 자세히 말해, G가 무한부분군이면 [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z},+) }[/math]와 동형이고, G의 계수가 n이면 [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+) }[/math]와 동형이다.