수학적 귀납법 편집하기

{{학술}}
== 개요 ==
[[파일:dominostanding.jpg|섬네일|[[도미노]]를 일렬로 늘어세운 후 처음 세운 도미노를 넘어뜨린다고 가정하자. 만약 앞에 있는 도미노가 쓰러지면서 다음 도미노를 무조건 넘어뜨린다면, 첫번째 도미노를 넘어뜨리면 세워진 모든 도미노가 넘어지지 않을까?]]
'''수학적 귀납법(Mathematical induction)'''은 일반화된 명제의 증명 방법으로, [[귀납법]]이란 이름을 달고 있지만 사실은 [[연역법]]이다. [[고등학교]] 교육과정에선 수학적 귀납법의 원리를 이해할 수 있을 정도로 간단히 다루지만 대학교에서 수학 관련 전공에 진입하면 증명까지 다루게 된다.
이 문서에 한해서 자연수의 집합 <math>\mathbb{N}</math>이 0을 포함한다고 본다.

== 진술 ==
[[자연수]]의 집합이 정의역인 조건을 <math>P(n)</math>이라고 하자. 만약
* <math>P(0)</math>이 참이다.
* 임의의 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대해, <math>P(n)</math>이 참이면 <math>P(n+1)</math>도 참이다.
이면 임의의 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대해 <math>P(n)</math>은 참이다.

명제를 형식적으로 나타내면 다음과 같다.
: <math>P(0) \land \forall (k\in \mathbb{N})[P(k)\Rightarrow P(k+1)]\Rightarrow \forall (n\in \mathbb{N})P(n)</math>

== 증명 ==
=== 정렬순서원리를 공리로 둔 경우 ===
<math>n'\in \mathbb{N}</math>이 존재하여 <math>P(n')</math>이 거짓이라고 가정하자. 그리고 [[집합 (수학)|집합]] ''S''를 다음과 같이 정의하자.
: <math>S=\{n\in \mathbb{N}\vert \neg P(n)\}</math>
그러면 <math>\neg P(n')</math>이 참이므로 <math>n'\in S</math>이다. 따라서 ''S''는 [[공집합]]이 아니고 <math>\mathbb{N}</math>의 부분집합이므로, [[정렬순서원리]](well-ordering principle)에 의해 ''S''의 최소원소가 존재한다. 이 원소를 <math>n_0</math>라고 하자. 이때 <math>P(0)</math>은 참이므로, <math>n_0\ne 0</math>이고 따라서 <math>n_0 \ge 1</math>이다. 그러면 <math> n_0 -1 \ge 0</math>인데, <math>n_0-1</math>은 ''S''의 최소원소가 아니므로 <math>n_0 -1\not\in S</math>이다. 따라서 <math>P(n_0 -1)</math>는 참이다. 그러면 가정에 의해 <math>P(n_0)</math>는 참이므로 <math>n_0\not\in S</math>이다. 그러면 <math>n_0\in S</math>이고 <math>n_0\not\in S</math>이므로 <math>n'\in \mathbb{N}</math>이 존재하여 <math>P(n')</math>이 거짓이라는 가정에 모순이다. 따라서 원하는 결론을 얻게 된다.

=== 귀납적 집합을 정의한 경우 ===
귀납적 집합은 무한공리(axiom of infinity)로 인해 그 존재성이 보장된다. 집합 ''A''를 다음과 같이 정의하자.
: <math>A=\{n\in \mathbb{N}\vert P(n)\text{ holds}\}</math>
그러면 ''A''는 귀납적 집합이고 따라서 <math>\mathbb{N}\subseteq A</math>이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.

== 수학적 귀납법의 변형 ==
=== 완전귀납법<ref>강한 수학적 귀납법이라고도 부른다.</ref> ===
[[자연수]]의 집합이 정의역인 조건을 <math>P(n)</math>이라고 하자. 만약
* <math>P(0)</math>이 참이다.
* 임의의 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대해, <math>P(0),P(1),\cdots,P(n)</math>이 참이면 <math>P(n+1)</math>도 참이다.
이면 임의의 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대해 <math>P(n)</math>은 참이다.

완전귀납법의 증명은 간단하다. 조건 <math>Q(n)</math>를 "<math>P(0),P(1),\cdots,P(n)</math>는 참이다."로 설정하면 <math>Q(0)=P(0)</math>은 참이고 <math>P(0),P(1),\cdots,P(n)</math>이 참이면 가정에 의해 <math>P(n+1)</math>가 참이므로 결국 <math>P(0),P(1),\cdots,P(n+1)</math>가 참이다. 즉 <math>Q(n)</math>이 참이면 <math>Q(n+1)</math>이 참이다. 따라서 <math>Q(n)</math>은 귀납법 가정을 만족하므로 임의의 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대해 <math>Q(n)</math>은 참인데 <math>Q(n)</math>의 정의에 의해 <math>P(n)</math>은 참이다.

한편 완전귀납법으로 정렬순서공리를 증명할 수 있다. 이 말은 수학적 귀납법과 정렬순서공리가 동치라는 것을 의미한다.

수학적 귀납법을 가정하자. 그리고 <math>\mathbb{N}</math>의 부분집합이고 공집합이 아니며, 최소원소가 없는 집합 ''S''가 존재한다고 가정하자. 만약 <math>0\in S</math>이면, 임의의 <math>x\in S</math>에 대해 <math>0\le x</math>이므로 ''n''이 ''S''의 최소원소가 된다. 따라서 <math>0\not\in S</math>이다. <math>0\not \in S, 1\not\in S, \cdots, n\not\in S</math>라고 하자. 만약 <math>n+1\in S</math>라면, 임의의 <math>x\in S</math>에 대해 <math>n+1\le x</math>이므로 <math>n+1</math>이 최소원소가 되어 모순이다. 따라서 <math>n+1\in S</math>이다. 따라서 완전귀납법에 의해 임의의 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대해 <math>n\not\in S</math>이고 따라서 ''S''는 공집합이다. 이것은 ''S''가 공집합이 아니라는 가정과 모순이다. 따라서 <math>\mathbb{N}</math>의 부분집합이고 공집합이 아닌 집합 ''S''는 반드시 최소원소를 가진다.

=== 초한귀납법 ===
<math>P(x)</math>를 순서수를 정의역으로 하는 조건이라 하자. 임의의 [[순서수]] α에 대해,
: 임의의 <math>\beta <\alpha</math>에 대해 <math>P(\beta)</math>가 참이면, <math>P(\alpha)</math>는 참이다.
이면 임의의 순서수 α에 대해 <math>P(\alpha)</math>는 참이다.

== 예시 ==
=== 다항함수의 도함수 ===
다항함수 <math>f(x)=x^n\;(n\ge 1)</math>의 도함수는 <math>f'(x)=nx^{n-1}</math>임을 수학적 귀납법을 이용해 증명하자.

<math>f(x)=x</math>의 도함수는
: <math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=1</math>
이다. 이제 <math>f(x)=x^n</math>의 도함수가 <math>f'(x)=nx^{n-1}</math>이라고 가정하자. <math>f(x)=x^{n+1}</math>의 도함수는
: <math>f'(x)=(x \cdot x^n)'=(x)' x^n + x(x^n)' = x^n + x(nx^{n-1})=(n+1)x^n</math>
이다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 원하는 결론을 얻는다.

=== 귀납적으로 정의된 수열 ===
수열 <math>(a_n)</math>이 다음 식을 만족한다고 하자.
: <math>a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}\; (n\ge 0)</math>
이때 임의의 ''n''에 대해 다음 식이 성립한다고 가정하자.
: <math>a_n=\frac{a_0}{1+na_0}</math>
그러면
: <math>\begin{align}
a_{n+1}&=\frac{a_n}{1+a_n}\\
&=\frac{\frac{a_0}{1+na_0}}{1+\frac{a_0}{1+na_0}}\\
&=\frac{\frac{a_0}{1+na_0}}{\frac{1+(n+1)a_0}{1+na_0}}\\
&=\frac{a_0}{1+(n+1)a_0}
\end{align}</math>
이므로 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 ''n''에 대해 <math>a_n=\frac{a_0}{1+na_0}</math>임을 안다.

=== 그래프 ===

[[분류:수리논리학]]