사원수군

정의

사원수들의 집합 [math]\displaystyle{ Q_8=\{\pm 1, \pm i, \pm j,\pm k\} }[/math]는 사원수의 곱셈에 대해 군을 이룬다. 이때

[math]\displaystyle{ i^2=j^2=-1,\quad ij=k=-ji }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ Q_8 }[/math]을 사원수군(quaternion group)이라고 한다.

사원수군의 케일리 표는 다음과 같다.

×	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
1	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
-1	-1	1	-i	i	-j	j	-k	k
i	i	-i	-1	1	k	-k	-j	j
-i	-i	i	1	-1	-k	k	j	-j
j	j	-j	-k	k	-1	1	i	-i
-j	-j	j	k	-k	1	-1	-i	i
k	k	-k	j	-j	-i	i	-1	1
-k	-k	k	-j	j	i	-i	1	-1

정이면체군과의 비교

위수 8인 모든 비가환군은 사원수군 [math]\displaystyle{ Q_8 }[/math] 또는 4차 정이면체군 [math]\displaystyle{ D_4 }[/math]와 동형이며, [math]\displaystyle{ Q_8 }[/math]과 [math]\displaystyle{ D_4 }[/math]는 동형이 아니다.

성질

• 사원수군의 중심은 [math]\displaystyle{ \{1,-1\} }[/math]이다.
• 사원수군은 쌍순환군이다. 즉, [math]\displaystyle{ Q_8=\langle i,j|i^4=1, i^2=j^2, j^{-1}ij=i^{-1} \rangle }[/math]