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* 사원수군의 [[ | * 사원수군의 [[중심 (군론)|중심]]은 <math>\{1,-1\}</math>이다. | ||
* 사원수군은 [[쌍순환군]]이다. 즉, <math>Q_8=\langle i,j|i^4=1, i^2=j^2, j^{-1}ij=i^{-1} \rangle</math> | * 사원수군은 [[쌍순환군]]이다. 즉, <math>Q_8=\langle i,j|i^4=1, i^2=j^2, j^{-1}ij=i^{-1} \rangle</math> | ||
[[분류:군론]][[분류:사원수]] | [[분류:군론]][[분류:사원수]] |
2019년 2월 6일 (수) 19:27 판
정의
사원수들의 집합 [math]\displaystyle{ Q_8=\{\pm 1, \pm i, \pm j,\pm k\} }[/math]는 사원수의 곱셈에 대해 군을 이룬다. 이때
- [math]\displaystyle{ i^2=j^2=-1,\quad ij=k=-ji }[/math]
이다. [math]\displaystyle{ Q_8 }[/math]을 사원수군(quaternion group)이라고 한다.
사원수군의 케일리 표는 다음과 같다.
× | 1 | -1 | i | -i | j | -j | k | -k |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | -1 | i | -i | j | -j | k | -k |
-1 | -1 | 1 | -i | i | -j | j | -k | k |
i | i | -i | -1 | 1 | k | -k | -j | j |
-i | -i | i | 1 | -1 | -k | k | j | -j |
j | j | -j | -k | k | -1 | 1 | i | -i |
-j | -j | j | k | -k | 1 | -1 | -i | i |
k | k | -k | j | -j | -i | i | -1 | 1 |
-k | -k | k | -j | j | i | -i | 1 | -1 |
정이면체군과의 비교
위수 8인 모든 비가환군은 사원수군 [math]\displaystyle{ Q_8 }[/math] 또는 4차 정이면체군 [math]\displaystyle{ D_4 }[/math]와 동형이며, [math]\displaystyle{ Q_8 }[/math]과 [math]\displaystyle{ D_4 }[/math]는 동형이 아니다.