Faà di Bruno's Formula
진술
파 디 브루노의 공식(Faà di Bruno's Formula)은 연쇄법칙(chain rule)을 고차 미분으로 일반화한 공식이다. 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]와 [math]\displaystyle{ g }[/math]가 미분가능한 일변수 함수이면 다음이 성립한다:
- [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d ^n}{\mathrm dx^n} f(g(x)) = \sum_{\sum_{1\le j \le n} j\cdot m_j = n}\frac{n!}{m_1! m_2! \cdots m_n!} f^{(m_1 + \cdots + m_n)}(g(x)) \prod_{1\le j \le n} \left(\frac{g^{(j)}(x)}{j!} \right)^{m_j}. }[/math]
- [math]\displaystyle{ B_{n,k}(x_1, \cdots , x_{n-k+1} ) = \sum_{(j_1 , \cdots , j_{n-k+1})} \frac{n!}{j_1! j_2! \cdots j_{n-k+1}!} \prod_{i=1}^{n-k+1} \left(\frac{x_i}{i!}\right)^{j_i} }[/math]
where [math]\displaystyle{ j_1 + \cdots + j_{n-k+1} = k }[/math] and [math]\displaystyle{ j_1 + 2j_2 + \cdots + (n-k+1)j_{n-k+1} = n }[/math]을 이용하여 간단히(?) 나타내면
- [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d ^n}{\mathrm dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=1}^n f^{(k)} (g(x)) B_{n,k} \left( g'(x) , \cdots , g^{(n-k+1)}(x)\right) }[/math]
가 된다. 또한, 이를 '조합적'으로 나타내면 다음과 같다:
- [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d ^n}{\mathrm dx^n} f(g(x)) = \sum_{\pi \in \Pi }f^{(|\pi|)}(g(x)) \prod_{B\in \pi} g^{(|B|)}(x). }[/math]
이때 [math]\displaystyle{ \pi }[/math]는 [math]\displaystyle{ \{1, \cdots, n\} }[/math]의 partition이며 [math]\displaystyle{ \Pi }[/math]는 그러한 [math]\displaystyle{ \pi }[/math]들의 집합이고, [math]\displaystyle{ B \in \pi }[/math]는 partition [math]\displaystyle{ \pi }[/math]의 한 'block'을 뜻하고, [math]\displaystyle{ \pi }[/math]의 cardinality는 'block'의 수, [math]\displaystyle{ B }[/math]의 cardinality는 'block' [math]\displaystyle{ B }[/math]의 size를 말한다.
위 식에서의 [math]\displaystyle{ f^{(\cdot)}(g(x)) \prod (g^{(\cdot)}(x))^\cdot }[/math]의 계수들(Faà di Bruno coefficients)
- [math]\displaystyle{ \frac {n!}{m_1! m_2! \cdots 1!^{m_1} 2!^{m_2}\cdots} }[/math]
은 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]을
- [math]\displaystyle{ n=\underbrace{1+\cdots+1}_{m_1} \,+\, \underbrace{2+\cdots+2}_{m_2} \,+\, \underbrace{3+\cdots+3}_{m_3}+\cdots }[/math]
으로 나누는 partition의 수이며, Bell polynomial에도 나타난다. 참고로, Bell polynomial은 통계학의 누적량(cumulant)과도 관계가 있다.
Statement: for Multivariable
위의 [math]\displaystyle{ \pi, \; \Pi, \; B }[/math]의 정의를 그대로 가져와 쓰면, [math]\displaystyle{ y=f(x_1 , x_2 ,\cdots , x_n) }[/math]라고 할 때, $$\frac{\partial ^n}{\partial x_1 \cdots \partial x_n} g(y) = \sum_{\pi \in \Pi} g^{(|\pi|)}(y) \prod_{B\in\pi} \frac{\partial^{|B|}y}{\prod_{j\in B}\partial x_j}$$ 이다. 예를 들어 $n=3$이라고 하면 \begin{align*} {\partial^3 \over \partial x_1\, \partial x_2\, \partial x_3}f(y) & = f'(y){\partial^3 y \over \partial x_1\, \partial x_2\, \partial x_3} \\ & + f(y) \left( {\partial y \over \partial x_1} \cdot{\partial^2 y \over \partial x_2\, \partial x_3} +{\partial y \over \partial x_2} \cdot{\partial^2 y \over \partial x_1\, \partial x_3} + {\partial y \over \partial x_3} \cdot{\partial^2 y \over \partial x_1\, \partial x_2}\right) \\ & + f'(y) {\partial y \over \partial x_1} \cdot{\partial y \over \partial x_2} \cdot{\partial y \over \partial x_3} \end{align*} 이다.
우리는 이 식을 이용하여 역함수의 $n$-계 도함수의 `linear recurrence'를 얻을 수 있다.
\subsection{Proof} 우리는 다음의 두 가지 point에 집중할 것이다: \begin{enumerate}[label=\textbf{Pt.\arabic*}] \item $\frac{\partial^n}{\partial x_1 \cdots \partial x_n}$, 즉 모두 독립적인 변수로 미분했을 때의 식. 우변의 계수는 모두 1일 것이다. \item $x_i$들이 모두 구별되지 않을 때. 예를 들면, 만약 $n=3$일 때 $x_2 = x_3$이라면, 다음 두 항은 `중복도 2의' 한 항으로 합쳐지게 된다: $$\frac{\partial y}{\partial x_2}\frac{\partial^2 y}{\partial x_1\partial x_3} + \frac{\partial y}{\partial x_3}\frac{\partial^2 y}{\partial x_1\partial x_2} = 2\frac{\partial y}{\partial x_2}\frac{\partial^2 y}{\partial x_1\partial x_2}.$$ 이런 `중복된 항의 수'를 구하는 데 초점을 둔다. \end{enumerate} 이런 관점에서는, (다른 접근과는 다르게) 모든 변수가 같은 것보다도 independent한 게 오히려 편하고 쉽고 기본적이다.
먼저 다음의 $\{1, \cdots, n+1\}$의 partition을 만드는 inductive한 방법(algorithm)을 생각하자: $\pi_n$를 $\{1, \cdots, n\}$의 partition이라고 할 때, \begin{enumerate} \item $\pi_{n+1} = \pi_n \cup \{\{n+1\}\}$, \item $\pi_{n+1} = \pi_n \setminus \{B\} \cup \{B \cup \{n+1\}$ for some $B\in \pi_n$. \end{enumerate} 이 두 가지 방법으로 모든 $\{1, \cdots , n+1\}$의 partition을 만들 수 있음은 당연하다. 이제 다음을 귀납적으로 보이자: $$\frac{\partial ^n}{\partial x_1 \cdots \partial x_n} f(y) = \sum_{\pi} f^{(|\pi|)}(y) \prod_{B\in\pi} \frac{\partial^{|B|}y}{\prod_{j\in B}\partial x_j}.$$ 이때, $n\ge 0$이다. 만약 $n=0$이면, 다른 경우와 같이 $\pi$는 $ \{1, \cdots, n\}$의 특정한 non-empty subset들을 모은 것이므로 $\{1, \cdots , n \} = \emptyset$ if $n=0$에서 $\pi$는 아무 원소도 가질 수 없고, 즉 $\pi=\emptyset$으로 보는 것이 타당하다. 이에 따라 $n=0$일 때에 $f(y) = f(y)$로 성립한다.
이제 다음 전개를 보자: \begin{align*} \frac{\partial^{n+1}}{\partial x_1 \cdots \partial x_{n+1}} f(y) &= \frac \partial {\partial x_{n+1}} \sum_{\pi} f^{(|\pi|)}(y) \prod_{B\in\pi} \frac{\partial^{|B|}y}{\prod_{j\in B}\partial x_j}
\end{document}