해석학과 위상수학에서, 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)는 유클리드 공간에서, 닫힌 유계 집합만이 컴팩트하다는 것을 말한다. 유클리드 공간을 자주 다루는 실해석학에서 기본적인 성질을 증명할 때 자주 사용된다.
진술
유클리드 공간의 부분집합 [math]\displaystyle{ K }[/math]에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다:
- [math]\displaystyle{ K }[/math]가 닫혀 있고 유계이다.
- [math]\displaystyle{ K }[/math]가 컴팩트하다.
증명
이하는 PMA에 소개된 증명을 따른다.
보조정리 1
[math]\displaystyle{ k }[/math] 차원 hyperrectangle은 컴팩트하다.
Proof. [math]\displaystyle{ I = \prod_{j=1}^k [a_j, b_j] }[/math]를 [math]\displaystyle{ k }[/math] 차원 hyperrectangle이라고 하고, 그 대각선 길이를 [math]\displaystyle{ \delta = \sqrt{\sum (b_j - a_j)^2 } }[/math]이라 하자. [math]\displaystyle{ \delta = \operatorname{diam}I }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 두 점의 거리는 [math]\displaystyle{ \delta }[/math]보다 작거나 같다. 이제, 모순을 이끌어 내기 위해서 유한한 부분 덮개를 가지지 않는 어떤 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 열린 덮개 [math]\displaystyle{ \{ G_\alpha \} }[/math]가 있다고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 각 변을 절반씩 나누어 만들어지는 [math]\displaystyle{ 2^k }[/math]개의 hyperrectangle 중에서 [math]\displaystyle{ \{G_\alpha\} }[/math]의 유한한 부분 덮개로 덮이지 않는 hyperrectangle이 하나 이상 존재하는데, 이 중 하나를 [math]\displaystyle{ I_1 }[/math]이라고 하자. 이런 식으로, [math]\displaystyle{ I_n }[/math]를 [math]\displaystyle{ 2^k }[/math] 개로 나눈 후 그 중 유한한 부분 덮개로 덮이지 않는 것을 [math]\displaystyle{ I_{n+1} }[/math]이라 하자. 그렇다면 집합들의 열 [math]\displaystyle{ \left \lt I_n \right\gt }[/math]은 [math]\displaystyle{ I_n \supseteq I_{n+1} }[/math]이고, 이 중 어느 것도 [math]\displaystyle{ \{ G_\alpha \} }[/math]의 유한한 부분 덮개로 덮이지 않고, [math]\displaystyle{ I_n }[/math]의 임의의 두 점 사이 거리는 [math]\displaystyle{ 2^{-n} \delta }[/math]보다 작을 수밖에 없다. [math]\displaystyle{ I_n = \prod_{j=1}^k [a_{n, j}, b_{n, j}] }[/math]라 두고 [math]\displaystyle{ \mathbf x \in \prod _j [\sup_n a_{n, j}, \inf_n b_{n, j}] \ne \emptyset }[/math]라 하면 [math]\displaystyle{ \mathbf x\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \{G_\alpha\} }[/math]는 열린 덮개이므로 어떤 [math]\displaystyle{ G_\alpha }[/math]에 포함되는 [math]\displaystyle{ \mathbf x }[/math]의 열린 [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math]-ball이 있을 것이고, 아르키메데스 성질에 의하여 [math]\displaystyle{ 2^{-n}\delta \le \epsilon }[/math]인 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 존재한다. 그런데 이것은 [math]\displaystyle{ I_n \subset G_\alpha }[/math]를 뜻하는 것이므로 모순이다.
- [math]\displaystyle{ K }[/math]가 닫혀 있고 유계이면 [math]\displaystyle{ K }[/math]는 compact하다.