사용자:CrMT/연습장/2: 두 판 사이의 차이

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'''정의역 채색'''(domain colouring)은 [[복소함수]]의 시각화를 위한 방법으로, 4 차원의 그래프를 2 차원의 평면에 옮기는 방법이다. [[색환 그래프]], [[채색된 해석적 랜드스케이프]](coloured analytic landscape), 등과 함께 가장 많이 쓰이는 방법 중 하나이다.

=미분 갈루아 이론=

~~== 진술 ==~~

정의역 채색은 복소함수의 그래프(실수체에서 4 차원)를 정의역, 채도(hue), 명도(lightness)로 나타낸다. 색환 그래프와 다른 점은 명도를 [[등고선]]의 용도로 활용한다는 것밖에 없다. (...)

그리고 명도를 이용하는 방식에 대해서는 딱히 정해진 것이 없다. 양자화의 기준이 되는 함숫값(의 절댓값, 즉 <math>|f(z)|</math>)을 갖는 점을 선으로 이어 놓은 것도 있고, 그 사이의 구간을 그라데이션으로 채워 놓은 것도 있다. 또한 그 양자화의 기준값 역시 정해져 있지 않지만, 대개 <math>n</math>이나 <math>2^n</math>을 기준으로 한다. (<math>n\in\mathbb Z</math>)

채도 역시 정해진 것은 없지만, 대부분 [[색환]]의 것을 따른다. 즉, Arg([[편각 (수학)|편각]])이 0부터 2π까지 변할 때, 채도는 RGB 순, 더 정확하게는 Red, Yellow, Green, Cyan, Blue, Magenta 순으로 변한다.

== ~~예시 ==~~

<!--

이하 [~~https~~:~~//gandhiviswanathan.wordpress.com/2014/10/07/domain-coloring-for-visualizing-complex-functions Gandhi Viswanathan's Blog~~]의 Mathematica code를 이용하였다. 이는 주기적인 그라데이션으로 함숫값의 절댓값을 표현하며, 그 간격은 <math>2^n</math>이다. 또한 색환 그래프, 채색된 해석적 랜드스케이프와 같이 보여주기로 한다. 정의역은 [-3, 3] ~~× [-3, 3]으로 제한하였다.~~

=람다 계산=

[[분류:람다 계산]]

{| ~~class~~=~~"wikitable"~~

'''람다 계산'''(람다 대수, 람다 연산, 람다 계산법; {{llang|1=en|2=lambda calculus}})은 수리논리학과 이론 컴퓨터과학에서 사용하는 형식 체계(formal system)로, 함수의 정의, 적용, 재귀 등을 치환, 바인딩(binding) 등을 이용하여 추상화한다. [[알론조 처치]]가 1930년대 처음 발표하였다.

~~|+ 복소함수의 시각화~~

~~|! 함수~~

== 역사 ==

~~|! 정의역 채색~~

[[라이프니츠]]는 다음과 같은 생각을 가지고 있었다.

~~|! 색환 그래프~~

* 모든 문제들이 서술될 수 있는 '보편적인(universal) 언어'를 만들어라.

~~|! 해석적 랜드스케이프~~

* 위의 언어로 서술된 모든 문제를 해결할 수 있는 방법을 찾아라.

|-

첫 번째 것은, 만약 수학적인 문제만으로 제한한다면, [[러셀]]과 [[프레게]] 등에 의한 '집합론'의 공리적 서술로 인하여 꽤 만족스러운 결과를 얻었다고 할 수 있다. 하지만 두 번째 것은, 당연히 안 될 것 같지만, 그 증명이 명확하지 않았다. (이는 [[힐베르트]]에 의하여 ''Entscheidungsproblem''로 불리게 된다. 직역하면 ''결정 문제''이다.) 이것은 1930년대에 [[알론조 처치]]와 [[앨런 튜링]]에 의하여 각각 독립적으로 해결되는데, 그 답은 [[처치-튜링 명제]]를 가정할 때<ref>Church-Turing 명제는 다음을 말한다: 알고리듬으로 계산 가능함과 튜링 기계로의 계산 가능성은 동치이다. 이와 동치 명제로, 알고리듬으로 계산 가능함과 lambda calculus로 표현 가능함은 동치이다.)</ref> '''No'''이다. 튜링은 후에 이 두 방법으로의 ''계산 가능성'', 즉 계산 가능한 함수들의 모임이 서로 같음을 보였다.

| <~~math~~>f(z) = z</math>

람다 계산이 고안된 이후로, 람다 연산에 기반한 ''함수 프로그래밍 언어''(functional programming language)가 만들어졌다. ''Reduction machine''은 이런 functional language의 실행을 위하여 고안되었다.

~~| [[파일~~:~~VisualizationOfComplexFunctionByDomainColouring_id~~.~~png|300px]]~~

|

== 이해 ==

|

Lambda calculus는 함수의 계산을 조금 더 간편하게 나타내는 표기이다. 간단히 말하면, 대수학에서 잊을 만하면 한 번씩 나오는 'evaluation'과 비슷한 개념이라고 할 수 있다. 예를 들어, <math>x</math>에 대한 식 <math>x^2 - \sin x</math>가 있다고 하자. 이는 다음과 같은 함수를 나타내기도 한다:

|-

:<math>x \mapsto x^2 - \sin x.</math>

| <math>~~f(z) =~~ \sin z</math>

이 함수를 lambda calculus에서는

~~| [[파일~~:~~VisualizationOfComplexFunctionByDomainColouring_sin~~.~~png|300px]]~~

:<math>\lambda x. x^2 - \sin x</math>

|

로 나타낸다.<ref><math>\lambda x[x \mapsto x^2 - \sin x]</math>로 나타내기도 한다.</ref> 그리고 이 함수의 <math>x=a</math>에서의 함숫값을

|

:<math>(\lambda x. x^2 - \sin x)a</math>

|-

로 나타낸다. 예를 들어 <math>(\lambda x.x^2 - \sin x)\pi = \pi^2 - \sin \pi = \pi^2</math>이다. 이 λ-연산자는

| <math>f(z) = \~~Gamma (z)~~</math>

-->

~~| [[파일:VisualizationOfComplexFunctionByDomainColouring_Gamma~~.~~png|300px]]~~

|

|}

사용자:CrMT/연습장/2: 두 판 사이의 차이

2016년 9월 11일 (일) 00:08 기준 최신판

미분 갈루아 이론[편집 | 원본 편집]

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-'''정의역 채색'''(domain colouring)은 [[복소함수]]의 시각화를 위한 방법으로, 4 차원의 그래프를 2 차원의 평면에 옮기는 방법이다. [[색환 그래프]], [[채색된 해석적 랜드스케이프]](coloured analytic landscape),  등과 함께 가장 많이 쓰이는 방법 중 하나이다.
+=미분 갈루아 이론=
-== 진술 ==
-정의역 채색은 복소함수의 그래프(실수체에서 4 차원)를 정의역, 채도(hue), 명도(lightness)로 나타낸다. 색환 그래프와 다른 점은 명도를 [[등고선]]의 용도로 활용한다는 것밖에 없다. (...)
-그리고 명도를 이용하는 방식에 대해서는 딱히 정해진 것이 없다. 양자화의 기준이 되는 함숫값(의 절댓값, 즉 <math>|f(z)|</math>)을 갖는 점을 선으로 이어 놓은 것도 있고, 그 사이의 구간을 그라데이션으로 채워 놓은 것도 있다. 또한 그 양자화의 기준값 역시 정해져 있지 않지만, 대개 <math>n</math>이나 <math>2^n</math>을 기준으로 한다. (<math>n\in\mathbb Z</math>)
-채도 역시 정해진 것은 없지만, 대부분 [[색환]]의 것을 따른다. 즉, Arg([[편각 (수학)|편각]])이 0부터 2π까지 변할 때, 채도는 RGB 순, 더 정확하게는 Red, Yellow, Green, Cyan, Blue, Magenta 순으로 변한다.
-== 예시 ==
+<!--
-이하 [https://gandhiviswanathan.wordpress.com/2014/10/07/domain-coloring-for-visualizing-complex-functions Gandhi Viswanathan's Blog]의 Mathematica code를 이용하였다. 이는 주기적인 그라데이션으로 함숫값의 절댓값을 표현하며, 그 간격은 <math>2^n</math>이다. 또한 색환 그래프, 채색된 해석적 랜드스케이프와 같이 보여주기로 한다. 정의역은 [-3, 3] × [-3, 3]으로 제한하였다.
+=람다 계산=
+{{학술}}
+[[분류:람다 계산]]
+{{넘겨주기 있음|람다 대수|람다 연산|람다 계산법|받침=예}}
-{| class="wikitable"
+'''람다 계산'''(람다 대수, 람다 연산, 람다 계산법; {{llang|1=en|2=lambda calculus}})은 수리논리학과 이론 컴퓨터과학에서 사용하는 형식 체계(formal system)로, 함수의 정의, 적용, 재귀 등을 치환, 바인딩(binding) 등을 이용하여 추상화한다. [[알론조 처치]]가 1930년대 처음 발표하였다.
-|+ 복소함수의 시각화
-|! 함수
+== 역사 ==
-|! 정의역 채색
+[[라이프니츠]]는 다음과 같은 생각을 가지고 있었다.
-|! 색환 그래프
+* 모든 문제들이 서술될 수 있는 '보편적인(universal) 언어'를 만들어라.
-|! 해석적 랜드스케이프
+* 위의 언어로 서술된 모든 문제를 해결할 수 있는 방법을 찾아라.
-|-
+첫 번째 것은, 만약 수학적인 문제만으로 제한한다면, [[러셀]]과 [[프레게]] 등에 의한 '집합론'의 공리적 서술로 인하여 꽤 만족스러운 결과를 얻었다고 할 수 있다. 하지만 두 번째 것은, 당연히 안 될 것 같지만, 그 증명이 명확하지 않았다. (이는 [[힐베르트]]에 의하여 ''Entscheidungsproblem''로 불리게 된다. 직역하면 ''결정 문제''이다.) 이것은 1930년대에 [[알론조 처치]]와 [[앨런 튜링]]에 의하여 각각 독립적으로 해결되는데, 그 답은 [[처치-튜링 명제]]를 가정할 때<ref>Church-Turing 명제는 다음을 말한다: 알고리듬으로 계산 가능함과 튜링 기계로의 계산 가능성은 동치이다. 이와 동치 명제로, 알고리듬으로 계산 가능함과 lambda calculus로 표현 가능함은 동치이다.)</ref> '''No'''이다. 튜링은 후에 이 두 방법으로의 ''계산 가능성'', 즉 계산 가능한 함수들의 모임이 서로 같음을 보였다.
-| <math>f(z) = z</math>
+람다 계산이 고안된 이후로, 람다 연산에 기반한 ''함수 프로그래밍 언어''(functional programming language)가 만들어졌다. ''Reduction machine''은 이런 functional language의 실행을 위하여 고안되었다.
-| [[파일:VisualizationOfComplexFunctionByDomainColouring_id.png|300px]]
-|
+== 이해 ==
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+Lambda calculus는 함수의 계산을 조금 더 간편하게 나타내는 표기이다. 간단히 말하면, 대수학에서 잊을 만하면 한 번씩 나오는 'evaluation'과 비슷한 개념이라고 할 수 있다. 예를 들어, <math>x</math>에 대한 식 <math>x^2 - \sin x</math>가 있다고 하자. 이는 다음과 같은 함수를 나타내기도 한다:
-|-
+:<math>x \mapsto x^2 - \sin x.</math>
-| <math>f(z) = \sin z</math>
+이 함수를 lambda calculus에서는
-| [[파일:VisualizationOfComplexFunctionByDomainColouring_sin.png|300px]]
+:<math>\lambda x. x^2 - \sin x</math>
-|
+로 나타낸다.<ref><math>\lambda x[x \mapsto x^2 - \sin x]</math>로 나타내기도 한다.</ref> 그리고 이 함수의 <math>x=a</math>에서의 함숫값을
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+:<math>(\lambda x. x^2 - \sin x)a</math>
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+로 나타낸다. 예를 들어 <math>(\lambda x.x^2 - \sin x)\pi = \pi^2 - \sin \pi = \pi^2</math>이다. 이 λ-연산자는
-| <math>f(z) = \Gamma (z)</math>
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-| [[파일:VisualizationOfComplexFunctionByDomainColouring_Gamma.png|300px]]
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