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[[해석학]]과 [[위상수학]]에서, 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)는 유클리드 공간에서, 닫힌 유계 집합만이 컴팩트하다는 것을 말한다. 유클리드 공간을 자주 다루는 실해석학에서 기본적인 성질을 증명할 때 자주 사용된다. | |||
== 진술 == | == 진술 == | ||
유클리드 공간의 부분집합 | 유클리드 공간의 부분집합 <math>K</math>에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다: | ||
: | : <math>K</math>가 닫혀 있고 유계이다. | ||
: <math>K</math>가 [[컴팩트]]하다. | |||
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이하는 [[PMA]]에 소개된 증명을 따른다. | |||
=== 보조정리 1 === | |||
<math>k</math> 차원 hyperrectangle은 컴팩트하다. | |||
''Proof''. <math>I = \prod_{j=1}^k [a_j, b_j]</math>를 <math>k</math> 차원 hyperrectangle이라고 하고, 그 대각선 길이를 <math>\delta = \sqrt{\sum (b_j - a_j)^2 }</math>이라 하자. <math>\delta = \operatorname{diam}I</math>이므로 <math> I </math>의 두 점의 거리는 <math> \delta </math>보다 작거나 같다. 이제, 모순을 이끌어 내기 위해서 유한한 부분 덮개를 가지지 않는 어떤 <math> I </math>의 열린 덮개 <math> \{ G_\alpha \} </math>가 있다고 하자. 그러면 <math> I </math>의 각 변을 절반씩 나누어 만들어지는 <math> 2^k </math>개의 hyperrectangle 중에서 <math> \{G_\alpha\} </math>의 유한한 부분 덮개로 덮이지 않는 hyperrectangle이 하나 이상 존재하는데, 이 중 하나를 <math> I_1 </math>이라고 하자. 이런 식으로, <math> I_n </math>를 <math> 2^k</math> 개로 나눈 후 그 중 유한한 부분 덮개로 덮이지 않는 것을 <math> I_{n+1} </math>이라 하자. 그렇다면 집합들의 열 <math>\left < I_n \right></math>은 <math> I_n \supseteq I_{n+1} </math>이고, 이 중 어느 것도 <math> \{ G_\alpha \} </math>의 유한한 부분 덮개로 덮이지 않고, <math> I_n </math>의 임의의 두 점 사이 거리는 <math> 2^{-n} \delta </math>보다 작을 수밖에 없다. <math> I_n = \prod_{j=1}^k [a_{n, j}, b_{n, j}] </math>라 두고 <math>\mathbf x \in \prod _j [\sup_n a_{n, j}, \inf_n b_{n, j}] \ne \emptyset </math>라 하면 <math>\mathbf x\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n</math>이다. <math> \{G_\alpha\} </math>는 열린 덮개이므로 어떤 <math> G_\alpha </math>에 포함되는 <math> \mathbf x </math>의 열린 <math> \epsilon </math>-ball이 있을 것이고, [[아르키메데스 성질]]에 의하여 <math> 2^{-n}\delta \le \epsilon </math>인 <math> n </math>이 존재한다. 그런데 이것은 <math> I_n \subset G_\alpha </math>를 뜻하는 것이므로 모순이다. | |||
# <math>K</math>가 닫혀 있고 유계이면 <math>K</math>는 compact하다. | |||
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2016년 2월 19일 (금) 22:11 판
해석학과 위상수학에서, 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)는 유클리드 공간에서, 닫힌 유계 집합만이 컴팩트하다는 것을 말한다. 유클리드 공간을 자주 다루는 실해석학에서 기본적인 성질을 증명할 때 자주 사용된다.
진술
유클리드 공간의 부분집합 [math]\displaystyle{ K }[/math]에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다:
- [math]\displaystyle{ K }[/math]가 닫혀 있고 유계이다.
- [math]\displaystyle{ K }[/math]가 컴팩트하다.
증명
이하는 PMA에 소개된 증명을 따른다.
보조정리 1
[math]\displaystyle{ k }[/math] 차원 hyperrectangle은 컴팩트하다.
Proof. [math]\displaystyle{ I = \prod_{j=1}^k [a_j, b_j] }[/math]를 [math]\displaystyle{ k }[/math] 차원 hyperrectangle이라고 하고, 그 대각선 길이를 [math]\displaystyle{ \delta = \sqrt{\sum (b_j - a_j)^2 } }[/math]이라 하자. [math]\displaystyle{ \delta = \operatorname{diam}I }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 두 점의 거리는 [math]\displaystyle{ \delta }[/math]보다 작거나 같다. 이제, 모순을 이끌어 내기 위해서 유한한 부분 덮개를 가지지 않는 어떤 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 열린 덮개 [math]\displaystyle{ \{ G_\alpha \} }[/math]가 있다고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 각 변을 절반씩 나누어 만들어지는 [math]\displaystyle{ 2^k }[/math]개의 hyperrectangle 중에서 [math]\displaystyle{ \{G_\alpha\} }[/math]의 유한한 부분 덮개로 덮이지 않는 hyperrectangle이 하나 이상 존재하는데, 이 중 하나를 [math]\displaystyle{ I_1 }[/math]이라고 하자. 이런 식으로, [math]\displaystyle{ I_n }[/math]를 [math]\displaystyle{ 2^k }[/math] 개로 나눈 후 그 중 유한한 부분 덮개로 덮이지 않는 것을 [math]\displaystyle{ I_{n+1} }[/math]이라 하자. 그렇다면 집합들의 열 [math]\displaystyle{ \left \lt I_n \right\gt }[/math]은 [math]\displaystyle{ I_n \supseteq I_{n+1} }[/math]이고, 이 중 어느 것도 [math]\displaystyle{ \{ G_\alpha \} }[/math]의 유한한 부분 덮개로 덮이지 않고, [math]\displaystyle{ I_n }[/math]의 임의의 두 점 사이 거리는 [math]\displaystyle{ 2^{-n} \delta }[/math]보다 작을 수밖에 없다. [math]\displaystyle{ I_n = \prod_{j=1}^k [a_{n, j}, b_{n, j}] }[/math]라 두고 [math]\displaystyle{ \mathbf x \in \prod _j [\sup_n a_{n, j}, \inf_n b_{n, j}] \ne \emptyset }[/math]라 하면 [math]\displaystyle{ \mathbf x\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \{G_\alpha\} }[/math]는 열린 덮개이므로 어떤 [math]\displaystyle{ G_\alpha }[/math]에 포함되는 [math]\displaystyle{ \mathbf x }[/math]의 열린 [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math]-ball이 있을 것이고, 아르키메데스 성질에 의하여 [math]\displaystyle{ 2^{-n}\delta \le \epsilon }[/math]인 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 존재한다. 그런데 이것은 [math]\displaystyle{ I_n \subset G_\alpha }[/math]를 뜻하는 것이므로 모순이다.
- [math]\displaystyle{ K }[/math]가 닫혀 있고 유계이면 [math]\displaystyle{ K }[/math]는 compact하다.