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| '''정의역 채색'''(domain colouring)은 [[복소함수]]의 시각화를 위한 방법으로, 4 차원의 그래프를 2 차원의 평면에 옮기는 방법이다. [[색환 그래프]], [[채색된 해석적 랜드스케이프]](coloured analytic landscape), 등과 함께 가장 많이 쓰이는 방법 중 하나이다.
| | 해석학고 위상수학에서, 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)는 유클리드 공간에서, 닫힌 유계 집합만이 컴팩트하다는 것을 말한다. 유클리드 공간을 자주 다루는 실해석학에서 기본 개념들의 성질을 증명할 때 자주 사용된다. |
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| == 진술 == | | == 진술 == |
| 정의역 채색은 복소함수의 그래프(실수체에서 4 차원)를 정의역, 채도(hue), 명도(lightness)로 나타낸다. 색환 그래프와 다른 점은 명도를 [[등고선]]의 용도로 활용한다는 것밖에 없다. (Contour plot)
| | 유클리드 공간의 부분집합 K에 대하여, 다음이 성립한다: |
| | : K가 닫혀 있고 유계일 때에만 컴팩트하다. |
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| 그리고 명도를 이용하는 방식에 대해서는 딱히 정해진 것이 없다. 양자화의 기준이 되는 함숫값(의 절댓값, 즉 <math>|f(z)|</math>)을 갖는 점을 선으로 이어 놓은 것도 있고, 그 사이의 구간을 그라데이션으로 채워 놓은 것도 있다. 또한 그 양자화의 기준값 역시 정해져 있지 않지만, 대개 <math>n</math>이나 <math>2^n</math>을 기준으로 한다. (<math>n\in\mathbb Z</math>)
| | == 증명 == |
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| 채도 역시 정해진 것은 없지만, 대부분 [[색환]]의 것을 따른다. 즉, Arg([[편각 (수학)|편각]])이 0부터 2π까지 변할 때, 채도는 RGB 순, 더 정확하게는 Red, Yellow, Green, Cyan, Blue, Magenta 순으로 변한다.
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| == 예시 == | |
| 아래의 domain colouring은 [https://gandhiviswanathan.wordpress.com/2014/10/07/domain-coloring-for-visualizing-complex-functions Gandhi Viswanathan's Blog]의 Mathematica code를 이용하였다. 이는 주기적인 그라데이션으로 함숫값의 절댓값을 표현하며, 그 간격은 <math>2^n</math>이다. 또한 채색된 해석적 랜드스케이프, 한꼴 플로팅과 같이 보여주기로 한다.
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| {| class="wikitable"
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| |+ 복소함수의 시각화
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| ! 함수
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| ! 정의역 채색<br/><small>Domain Colouring</small>
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| ! 해석적 랜드스케이프<br/><small>Analytic landscape</small>
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| ! 한꼴 플로팅<br/><small>Conformal plot</small>
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| | 플로팅 영역
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| | [-3, 3] × [-3, 3]
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| | [-3, 3] × [-3, 3]
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| | [-1, 1] × [-1, 1] → [-3, 3] × [-3, 3]
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| |-
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| | <math>f(z) = z</math>
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| | [[파일:VisualizationOfComplexFunctionByDomainColouring_id.png|250px]]
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| | [[파일:VisualizationOfComplexFunctionByAnalyticLandscape_id.png|250px]]
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| | [[파일:VisualizationOfComplexFunctionByConformalPlot_id.png|250px]]
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| |-
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| | <math>f(z) = \sin z</math>
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| | [[파일:VisualizationOfComplexFunctionByDomainColouring_sin.png|250px]]
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| | [[파일:VisualizationOfComplexFunctionByAnalyticLandscape_sin.png|250px]]
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| | [[파일:VisualizationOfComplexFunctionByConformalPlot_sin.png|250px]]
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| |-
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| | <math>f(z) = \Gamma (z)</math>
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| | [[파일:VisualizationOfComplexFunctionByDomainColouring_Gamma.png|250px]]
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| | [[파일:VisualizationOfComplexFunctionByAnalyticLandscape_Gamma.png|250px]]
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| | [[파일:VisualizationOfComplexFunctionByConformalPlot_Gamma.png|250px]] <br/> [-.5, .5] × [-.5, .5] → [-10, 10] × [-10, 10]
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| |}
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